Termín odeslání 2. série: 5. prosince 2017

Aktuální číslo v PDF

Úlohy

2.1 Na plese (3 b)

Na plese spolu tančilo 102 princů a 103 princezen. Po skončení plesu se zjistilo, že každý princ tančil se stejným počtem princezen. Dokažte, že existují dvě princezny, které si zatančily se stejným počtem princů.


2.2 Čtveřice množin (3 b)

Kolik existuje čtveřic množin $(A, B, C, D)$ takových, že1

\[ A \subseteq B \subseteq C \subseteq D \subseteq \{ 1, 2, \ldots , n\} \]

pro dané přirozené $n$?


1) zápis $A\subseteq B$ znamená „$A$ je podmnožina $B$“.


2.3 Namočený kondenzátor (5 b)

Máme deskový kondenzátor, jehož spodní část je ponořená do vody jako na obrázku 1. Na kondenzátor je přivedené napětí $U=200 \, \mathrm{V}$ a vzdálenost desek je $d = 0,4 \, \mathrm{mm}$. Pokud zanedbáme kapilární jevy, do jaké výšky $z$ vystoupá vodní hladina? Jev se ustálí po dosažení minima energie soustavy.

Obrázek 1: Kondenzátor ponořený do vody

2.4 Zalévání zahrádky (2 b)

Nezaprší a nezaprší. Zahradník vzal hadici, postavil se doprostřed zahrady a začal zalévat. Trochu ho to již přestává bavit, a tak přemýšlí, čím by zaměstnal svůj bystrý mozek. A vtom mu na mysli vyvstane otázka – na jaké křivce leží body maximální výšky, kam dostříkne hadicí (při zanedbání odporu vzduchu), bude-li stát na místě, stříkat jedním směrem a bude pouze měnit úhel náklonu hadice ve vertikální rovině? Přijdete na to dřív než on? Zkuste křivku popsat matematicky a graficky znázornit.


Témata