Termín odeslání 4. série pro účast na soustředění: 30. ledna 2018
Termín odeslání 4. série: 27. února 2018

Aktuální číslo v PDF

Úlohy

4.1 Slané tyčinky (3 b)

Petr miluje slané tyčinky. Už snědl skoro celé balení a na talíři mu zbývá pouhých $n$ ne nutně stejně dlouhých tyčinek. Petr si všiml, že z každé trojice tyčinek lze sestavit tupoúhlý trojúhelník. Jaké největší hodnoty může $n$ nabývat?


4.2 Kačenka (3 b)

V rybníčku kruhového tvaru plave kačenka. Ráda by odlétla pryč, ale umí vzlétnout jen ze břehu. Tam na ni ale číhá kočka, která se bojí vody, ale po okraji rybníka se pohybuje čtyřikrát větší rychlostí, než kačenka plave. Existuje způsob, jak může kačenka kočce upláchnout, ať se kočka pohybuje jakkoli chytře?


4.3 Hmotný bod na lopte (4 b)

Na vodorovnej podložke máme položenú loptu o polomere $r=15 \, \mathrm{cm}$. Na jej vrchol umiestníme hmotný bod a zapôsobíme na neho malou sílou a uvedieme ho do pohybu, ale s nulovou počiatočnou rýchlosťou. Pri akom uhle $\varphi $ sa oddelí od povrchu gule a do akej vzdialenosti $d$ od miesta vypustenia dopadne (viď obrázok 1)? Hmotný bod sa pohybuje bez trenia.

Obrázek 1: Trajektória pádu bodu

4.4 Historie tahů piškvorek (4 b)

Martin chce naprogramovat hru piškvorky na „piškvorkovnici“ $200\times 200$ políček. A zrovna si láme hlavu nad dílčí úlohou – chce ukládat historii hry, jak šly tahy od začátku po sobě, aby bylo možné vracet partii o libovolný počet tahů zpět.

Každý tah je jednoznačně určen svou $x$-ovou souřadnicí (hodnota 0 až 199), $y$-ovou souřadnicí (hodnota 0 až 199) a typem (buď křížek, nebo kolečko). Protože se hráči pravidelně střídají, tak víme-li číslo tahu, je už jasné, zda to byl křížek, nebo kolečko. Z pravidel piškvorek je pro nás dále důležité vědět, že hra končí, když se na ploše objeví 5 stejných symbolů vedle sebe v libovolném (i šikmém) směru.

Martin nechce plýtvat místem, a proto chce, aby stav hry, ze kterého půjde jednoznačně určit celá historie tahů, byl uložen v poli o velikosti $200\times 200$ bytů (byte má rozsah hodnot 0 až 255).

Jak to má udělat? Pomohou mu jiné číselné soustavy nebo šikovné kódování? Anebo to vůbec nejde?


Témata