Téma t1: Paradoxní výsledky

Zadáno v čísle 25.1.

Zadání

Obsah:

1. díl

2. díl

3.díl


1. díl

V tomto spíše experimentálním témátku se budeme zabývat ověřováním a následně interpretací dat, která jste naměřili. Nebude nijak početně složité, chceme po vás, abyste se naučili přemýšlet o datech, která získáte, vyvozovat z nich hypotézy a umět si na jejich základě pokládat otázky, které vás dovedou k dalším úvahám a experimentům.

Začněme takovým malým příběhem, který nám nastíní, o co se bude v tomto témátku jednat. Bylo nebylo, kdesi daleko žil jeden malý kluk. Jmenoval se Bartoloměj a měl rád zmrzlinu. Vyráběl si ji spolu s kamarády ve škole skoro každý den. Vždy smíchali mléko a cukr, tuto směs zahřáli v hrnci, nechali vychladnout a pak dali zmrznout do mrazáku. Jelikož kluků bylo hodně a míst v mrazáku málo, ne vždy se dostalo na všechny. Platilo, že kdo dřív přijde, ten dřív mele, takže Bartoloměj jednoho dne v zápalu boje o poslední místo v mrazáku zariskoval, nepočkal, až mu směs na zmrzlinu vychladne, a zavřel ji do mrazáku horkou. Když se po chvíli vrátil, bylo mu opravdu divné, že jeho směs už ztuhla a proměnila se ve zmrzlinu, avšak zmrzliny ostatních kamarádů ještě neztuhly. Vždyť byly studenější než ta jeho! V Bartolomějovi to vzbudilo zájem, ale ať přemýšlel, jak chtěl, nemohl přijít na to, proč tomu tak bylo. Když se zeptal učitelů, tak mu nevěřili a dělali si z něj legraci, že si vymyslel své vlastní fyzikální zákony. Jenže Bartoloměj věděl, co viděl. Rozhodl se dokázat ve školní laboratoři, že měl pravdu. Připravil si dvě navlas stejné nádoby a poté do jedné nalil horkou vodu a do druhé o něco chladnější. Obě poté zavřel do školního mrazáku.


Problém:

Co si myslíte vy, jaký byl výsledek jeho pokusu? Proveďte podobný pokus a ověřte, zda měl Bartoloměj pravdu. Doporučujeme to vyzkoušet nejprve s vodou, ta má víc konzistentní strukturu než Bartolomějova zmrzlina (ale nikdo vám samozřejmě nebrání něco podobného vyzkoušet). Zkuste si graficky zaznamenat závislost doby tuhnutí na počáteční teplotě jednotlivých měření, zkoumejte i závislost teploty na čase pro jednotlivá měření. Jaké parametry určují, zda je voda zmrzlá? Stanovte si okamžik, kdy prohlásíte jednotlivá měření za ukončená.


Tip: Experimenty bývají obecně časově náročnější, proto pokud se rozhodnete pro toto témátko, nezačínejte s měřeními na poslední chvíli.


2. díl

Malý Bartoloměj provedl svůj pokus a zjistil, že teplejší voda opravdu zmrzne rychleji, ale jen pokud pokus probíhá v menším měřítku (tedy pokud Bartoloměj neumístí do jednoho mrazáku mnoho nádob najednou). Rád by však přišel na to, co za to může. Nejprve se rozhodl prozkoumat vlastnosti kapaliny. Připravil si tedy teploměr a vyzkoušel tato měření s roztokem kuchyňské soli. Svoje měření ukončil, když teplota dané kapaliny dosáhla hodnot lehce pod 0C. Napadlo ho, že kapalina má jinou teplotu v různých místech svého objemu. Co kdyby do ní něco vložil a zabránil tak jejímu míchání anebo materiálem vloženého tělesa (například lžičky) ovlivnil odvod tepla z kapaliny?


Problém 1:

Ověřte, zda i pro ostatní kapaliny platí, že na počátku teplejší kapalina mrzne rychleji. Vyzkoušejte např. mléko, vodu se solí atd. Na čem si myslíte, že bude výsledek měření záviset? Zkuste navrhnout ideální kapalinu, na které bude efekt nejsilnější. Zkuste změnit podmínky, za kterých voda a vámi zvolené kapaliny tuhnou, tím, že zamezíte pohybu molekul v objemu kapaliny či změníte odvod tepla tím, že do kapaliny něco vložíte. Diskutujte důsledky těchto vámi změněných podmínek.

Pája a Matej; pavla.trembulakova@seznam.cz
e-mailová konference: paradoxni@mam.mff.cuni.cz


3. díl

Řešení 1. série

Zadání:

Co si myslíte vy, jaký byl výsledek Bartolomějova pokusu? Zmrzne teplá voda dříve než studená? Proveďte podobný pokus a ověřte, zda měl Bartoloměj pravdu. Doporučujeme to vyzkoušet nejprve s vodou, ta má víc konzistentní strukturu než Bartolomějova zmrzlina (ale nikdo vám samozřejmě nebrání něco podobného vyzkoušet). Zkuste si graficky zaznamenat závislost doby tuhnutí na počáteční teplotě jednotlivých měření, zkoumejte i závislost teploty na čase pro jednotlivá měření. Jaké parametry určují, zda je voda zmrzlá? Stanovte si okamžik, kdy prohlásíte jednotlivá měření za ukončená.

Řešení:

Pokud se zamyslíme nad samotnou hypotézou, tak odporuje prvotnímu logickému úsudku. Při srovnání dvou stejných nádob s vodou lišících se jen teplotou vody by nádoba s teplejší vodou měla nejprve vychladnout na teplotu té studenější vody v nádobě a pak teprve zmrznout, což neodpovídá tomu, co bychom měli experimentem dokázat.

Pro provedení tohoto experimentu je nejprve třeba definovat si podmínky, které budeme dodržovat během celého experimentu. Jako prostředí, ve kterém experiment proběhne, si zvolíme mrazák. Budeme pracovat s obyčejnou kohoutkovou vodou, kterou nejprve převaříme (např. ve varné konvici či v hrnci) a poté necháme vychladnout na požadovanou teplotu. Tímto snížíme pravděpodobnost rozdílu v koncentraci rozpuštěných minerálů (rozpustnost látky se s teplotou rozpouštědla mění a při pozvolném chladnutí na počáteční teplotu nedojde k extrémním změnám ve složení). Můžeme použít i destilovanou vodu a tím minimalizovat anomálie způsobené složením vody úplně. Jako nádobu budeme používat odměrnou kádinku z laboratorního skla.

Z kvantitativního hlediska není dobré měřit objem, ale hmotnost kapaliny, protože objem je závislý na teplotě podle jejího koeficientu tepelné roztažnosti. Pokud však měříme kvantitu vody v objemových jednotkách, tak to pro tuto chvíli nemá vliv. Přeci jen nám zde jde o to mít u každého měření stejné množství vody a odchylky v objemu při teplotách na námi měřeném intervalu teplot od $21 \, \mathrm{^{\circ }C}$ až $82 \, \mathrm{^{\circ }C}$ jsou malé, přibližně v jednotkách mililitrů.

Měření není dobré provádět ve velkém množství, neboť se stane, že přetížíme mrazák a jeho výkon začne značně kolísat. V závislosti na velikosti mrazáku tedy budeme měřit 2 až 3 nádoby najednou.

Je dobré zvolit si, jaký typ teploměru budeme používat. Při měření bychom měli dbát na to, aby šla zavírat dvířka mrazáku na doraz a nepronikalo teplo dovnitř. Otevřené dveře by měnily výkon mrazáku a tak i celkové mikroklima a teplotu. Podobné riziko bude hrozit při každém zkontrolování teploty vody v mrazáku, kdy otevřeme dveře. Zároveň nádobu s kapalinou neumístíme do nějakého stojanu z kartonu apod., naruší nám to plynulost teplotní interakce kapaliny s okolím přes stěnu nádoby a může se stát, že naše měření nebudou vykazovat to, co by měla, kdyby tam tato bariéra nebyla.

Další bod je stanovit si moment, kdy ukončíme měření a podle čeho prohlásíme, že voda zmrzla. Zmrznutí můžeme definovat například jako moment, kdy se na vodě objeví první ledové krystaly. Nevýhoda této definice zmrznutí je ta, že se musíme spoléhat na vlastní zrak a přesně jím určit moment vzniku prvních ledových krystalků.

Jeden z problémů ovlivňujících naše výsledky je ten, že musíme experiment kontrolovat vizuálně a otevírat dveře mrazáku, a to zejména ke konci, kdy potřebujeme určit přesně okamžik ztuhnutí. Tomuto se můžeme vyhnout například tím, že si zmrznutí zadefinujeme jako moment, kdy teplota vzorku vody dosáhne teploty menší než $0 \, \mathrm{^{\circ }C}$ a zároveň použijeme teploměr s digitálními senzory, které nám budou vypisovat teplotu kapaliny pravidelně do počítače i při zavřených dveřích mrazáku. Pokud takové zařízení nemáme k dispozici, proveďme nejprve měření, podle kterého odhadneme dobu tuhnutí kapaliny a nebudeme muset mrazák otevírat už od začátku měření.

Sledování doby tuhnutí v závislosti na počáteční teplotě vody je na provedení snazší než sledovat i průběh mrznutí vody, protože v takovém případě musíme sledovat a zaznamenávat i průběžnou teplotu, ne jen čas, kdy voda zmrzne. Data z našeho experimentu můžeme vidět v tabulce 1 a na obrázcích 1 a 2 níže1.

$T_0$

$t_\mathrm {z}$

$\Delta m$

Úbytek ve hm. %

$82,6 \, \mathrm{^{\circ }C}$

$39,28 \, \mathrm{min}$

$7 \, \mathrm{g}$

$7 \, \mathrm{\% }$

$69,9 \, \mathrm{^{\circ }C}$

$37,00 \, \mathrm{min}$

$6 \, \mathrm{g}$

$6 \, \mathrm{\% }$

$65,3 \, \mathrm{^{\circ }C}$

$42,75 \, \mathrm{min}$

$1 \, \mathrm{g}$

$1 \, \mathrm{\% }$

$60,0 \, \mathrm{^{\circ }C}$

$40,28 \, \mathrm{min}$

$2 \, \mathrm{g}$

$2 \, \mathrm{\% }$

$41,9 \, \mathrm{^{\circ }C}$

$57,43 \, \mathrm{min}$

$3 \, \mathrm{g}$

$3 \, \mathrm{\% }$

$30,9 \, \mathrm{^{\circ }C}$

$54,50 \, \mathrm{min}$

$2 \, \mathrm{g}$

$2 \, \mathrm{\% }$

$25,0 \, \mathrm{^{\circ }C}$

$51,92 \, \mathrm{min}$

$2 \, \mathrm{g}$

$2 \, \mathrm{\% }$

$22,1 \, \mathrm{^{\circ }C}$

$65,05 \, \mathrm{min}$

$1 \, \mathrm{g}$

$1 \, \mathrm{\% }$

$21,5 \, \mathrm{^{\circ }C}$

$62,48 \, \mathrm{min}$

$1 \, \mathrm{g}$

$1 \, \mathrm{\% }$

 

 

 

 

 

 
 
 

 

 

 

 
 
Tabulka 1: Data z experimentů pro závislost doby tuhnutí na počáteční teplotě kapaliny, kde $T_0$ je počáteční teplota vody, $t_\mathrm {z}$ je čas překročení $0 \, \mathrm{^{\circ }C}$ a $\Delta m$ je odpar vody
 

 

Obrázek 1: Shrnutí měření průběhu teploty vzorku vody v čase; legenda grafu určuje počáteční teplotu v experimentech znázorněných danou křivkou
 

 

Obrázek 2: Výsledek závislosti doby tuhnutí na počáteční teplotě
 

Můžeme vidět, že s rostoucí počáteční teplotou nám klesá doba, za kterou voda ztuhne. Proč tomu asi tak je? Ono totiž teplá voda zmrzne rychleji je velmi zavádějící úsloví. Pojem teplota se zde vztahuje k průměrné teplotě v objemu kapaliny. Tohoto si všiml ve svém řešení Viktor Materna, který správně podotknul, že teplota v různých místech kapaliny je jiná a tento rozdíl teplot je markantnější u kapaliny s vyšší počáteční teplotou.


Zadání 3. série

V minulých číslech jsme experimentálně dokázali teorii mladého fyzika Bartoloměje, který se domníval, že teplá voda zmrzne rychleji než studená.2 Když jsme podle Bartolomějova vzoru vyzkoušeli naměřit i to, jak se tento jev projevuje na různých kapalinách, před námi vyvstal další problém: jak ovlivňuje průběh tuhnutí okolí? Poté, co Bartoloměj vyzkoušel, jak se tento jev projevuje na ostatních kapalinách, zkoumal dále, jak se na průběhu tuhnutí kapaliny projeví změny v okolí. Nejprve zkusil zaměnit nádoby a naměřit nějaké pokusy s alespoň dvěma nádobami s rozdílnými rozměry ze stejného materiálu. Poté zkusil zaměnit i materiál podloží nádoby3. Nakonec se zamyslel, jak ovlivňuje výkon mrazáku dobu tuhnutí.

Jak jste si mohli všimnout ve vzorovém řešení 1. série obsaženém v tomto čísle, průběh a doba tuhnutí závisí na způsobu odvodu tepla z kapaliny. Tento odvod tepla závisí na veličině zvané tepelný tok $Q_ v$ vyjadřující průnik množství energie válcovou nádobou se stěnou o tloušťce $l$ přes plochu kolmou na směr proudění tepla $S$ při rozdílu teplot $\Delta t$ prostředí dotýkajících se vodícího předmětu (zde nádoby) z obou stran. Materiál, který také ovlivňuje snadnost/nesnadnost průtoku tepla předmětem, je zastoupen veličinou $\lambda $ neboli součinitelem tepelné vodivosti. Vzorec pro výpočet velikosti tepelného toku pro válcovitou nádobu vypadá takto:

\begin{equation} Q_ V = \frac{\lambda S (t - t_{p1})}{l} + \pi \frac{r_2 + r_1}{r_2 - r_1} \lambda h (t - t_{p2}) \end{equation}

Doplňme, že $l = r_2- r_1$ je zároveň rozdíl vnitřního poloměru $r_1$ a vnějšího poloměru $r_2$. První sčítanec ve vzorci reprezentuje tepelný tok přes stěnu nádoby a druhý sčítanec reprezentuje tepelný tok přes dno nádoby, které je vlastně rovinná stěna. Pokud budeme opravdu důslední, tak v prvním a druhém sčítanci bude $\Delta t$ rozdílné, jednou se týká teploty vzduchu v mrazáku a podruhé teploty dna mrazáku.


Problém:

Změřte závislost teploty kapaliny na čase pro dvě různé nádoby a poté i pro dvě různá podloží z různých materiálů. Jak materiál nádoby a podloží ovlivňuje průběh tuhnutí? Jak závisí doba tuhnutí na výkonu mrazáku? Odhadněte číselně pro váš konkrétní mrazák. Diskutujte závislost parametrů vaší nádoby a parametrů jejího okolí na velikost tepelného toku. Pokud jste použili nádobu, která nemá válcovitý tvar, vzorec pro výpočet tepelného toku si najděte např. v odborné literatuře či na internetu.


1) Přehlednější grafy v barevné podobě jsou k nahlédnutí v PDF verzi čísla na našem webu.

2) Proč tomu tak je, se můžete dozvědět v řešení 1. čísla.

3) Podložím rozumíme to, na čem vaše nádoba stojí.

4) např. studijní text Fyzikální olympiády: http://fyzikalniolympiada.cz/texty/texttz.pdf