Úloha 5.u1: Rovnostranný trojúhelník (3 b)

Zadáno v čísle 24.5.

Řešeno v čísle 24.7.

Zadání

Máme ostroúhlý trojúhelník $ABC$ s výškou $CH$ a těžnicí $BM$. Navíc víme, že $|BM| = |CH|$ a úhly $MBC$ a $HCB$ jsou stejně velké. Dokažte, že $ABC$ je rovnostranný.

Řešení

Postupovat se dalo různými způsoby. Pěkné řešení využívalo obsahy, další řešení pracovala s úhly. V tomto řešení budeme postupovat přímočaře přes shodné trojúhelníky, kterých si také všimla většina z vás.

Obrázek 1: Náčrtek zadaného trojúhelníku

Trojúhelník $HBC$ je shodný s trojúhelníkem $MCB$ podle věty $sus$ ($|BM|=|CH|$ ze zadání a $|\sphericalangle MBC|$=$|\sphericalangle HCB|$).

Tedy $|\sphericalangle BCA|=|\sphericalangle CBA|$, takže $ABC$ je rovnoramenný trojúhelník, protože má u základny dva stejné úhly, tedy $|AC|=|AB|$.

Dále z podobnosti trojúhelníků $HBC$ a $MCB$ vyplývá, že velikost $|\sphericalangle BMC|=$ $=|\sphericalangle CHB|=90^\circ $, tedy trojúhelník $CMB$ je shodný s trojúhelníkem $AMB$ podle věty $sus$ ($|CM|=|AM|$, protože $BM$ je těžnice, čili $M$ je střed strany $AB$). Ze shodnosti trojúhelníků potom platí, že $|AB|=|BC|$.

Platí tedy $|AC|=|AB|$ a $|AB|=|BC|$, takže trojúhelník $ABC$ je rovnostranný.

Velká část z vás k úloze nenakreslila obrázek (dobrým nástrojem je třeba GeoGebra). To je u geometrické úlohy vždycky škoda, jednak to pomůže při opravě, kdy se dá jednodušeji orientovat ve vašich úvahách, jednak to pomůže vám, když zapomenete něco zmínit, ale máte to zaznačené na obrázku. Nakonec jsem se rozhodl ocenit obrázek bonusovým půlbodem, abych motivoval pozitivně a ne negativně. Další věcí, ve které zhruba polovina z vás dělala chyby, byl zápis shodných (nebo podobných) trojúhelníků – vždy je potřeba psát odpovídající si vrcholy na stejné pozice. Tedy pokud mám shodné trojúhelníky $ABC$ a $DEF$, tak to znamená, že $|AB|=|DE|$, $|AC|=|DF|$ a třeba $|\sphericalangle ACB|=|\sphericalangle DFE|$.

Petr