Úloha 4.u1: Slané tyčinky (3 b)

Zadáno v čísle 24.4.

Řešeno v čísle 24.6.

Zadání

Petr miluje slané tyčinky. Už snědl skoro celé balení a na talíři mu zbývá pouhých $n$ ne nutně stejně dlouhých tyčinek. Petr si všiml, že z každé trojice tyčinek lze sestavit tupoúhlý trojúhelník. Jaké největší hodnoty může $n$ nabývat?

Řešení

Ze všeho nejdřív jednoduše popíšeme, co to znamená, že tři kladné hodnoty$a \le b \le c$ mohou být délkami stran nějakého tupoúhlého trojúhelníku. Vzpomeňme, že trojúhelníková nerovnost tvrdí, že tři kladná čísla mohou být délkami stran trojúhelníku právě tehdy, když $a+b > c$. Dále tvrdíme, že tato čísla mohou být délkami stran tupoúhlého trojúhelníku právě tehdy, když platí $a^2 + b^2 < c^2$. To plyne třeba z kosinové věty. Ta totiž dokonce říká, že $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma $, kde $\gamma $ je úhel proti nejdelší straně $c$. Teď už si jen všimneme, že $\cos \gamma $ je záporný, právě když $\gamma > 90^{\circ }$, tedy se jedná o tupý úhel (všimněte si, že pro $\gamma = 90^{\circ }$ dostáváme Pythagorovu větu).

Pomocí těchto dvou nerovností se nám povedlo geometrickou otázku převést na čistě algebraický problém – najděte $n$ kladných čísel takových, že každá trojice $x\le y \le z$ splňuje $x+y>z$ a $x^2+y^2 < z^2$.

Nejprve se pokusme najít čtyři čísla $a \le b \le c \le d$, která tyto nerovnosti splňují. Všimněme si, že není potřeba ověřovat, zda trojúhelníková nerovnost platí pro všechny trojice – jestliže platí $a+b > d$, platí už i zbylé nerovnosti $b+c > d$, $a+c > d$, $a+b > c$. Dále není potřeba ověřovat, že pro všechny trojice platí druhá podmínka – pokud ukážeme, že $a^2+b^2 < c^2$ a $b^2+c^2 < d^2$, bude jistě platit také $a^2+b^2 < d^2$ a $a^2+c^2 < d^2$. Po chvíli zkoušení snadno najdeme nějakou čtveřici splňující tyto tři podmínky. Funguje třeba $(1; 1; \sqrt {2}+0,01; 2-0,01)$ (čísla jsme volili tak, aby těsně platilo, že $a+b>d$ a $a^2+b^2 < c^2$; teď už jen stačí dopočítat, že $b^2+c^2 < d^2$).

Pokusme se stejnou myšlenku aplikovat na pět čísel $a \le b \le c \le d \le e$. Obdobně jako v předchozím případě dostáváme, že důležité nerovnosti jsou pouze $a+b > e$ společně s $a^2+b^2 < c^2$, $b^2+c^2 < d^2$ a $c^2+d^2 < e^2$. Složíme-li poslední tři nerovnosti, dostáváme

\[ e^2 > c^2 + d^2 > (a^2 + b^2) + (b^2 + c^2) > a^2 + 2b^2 + (a^2 + b^2) = 2a^2 + 3b^2. \]

Umocníme-li ale trojúhelníkovou nerovnost, dostáváme

\[ e^2 < a^2 + b^2 + 2ab. \]

Nyní složíme oba odhady a dostaneme $2a^2 + 3b^2 < a^2 + b^2 + 2ab$, tedy $a^2 + 2b^2 < 2ab$, což lze přepsat na nerovnost $(a-b)^2 + b^2 < 0$. Taková nerovnost ale zřejmě nemůže být splněna. Petr si tak může pochutnat nejvýše na čtyřech tyčinkách.

Vašek