Úloha 3.u1: Západ duhy (4 b)

Zadáno v čísle 24.3.

Řešeno v čísle 24.5.

Zadání

Jak dlouho po západu Slunce můžeme o jarní rovnodennosti z rovníku vidět duhu, která se utvoří na dešťových kapkách? Pokud potřebujete znát nějaké parametry, tak si je vyhledejte nebo odhadněte. Jak bude taková duha vypadat?

Řešení

Vieme, že dúha vzniká pri dopade svetla na vodnú kvapku. Aproximujme kvapku ako guľu, na ktorú dopadá vodorovný lúč1 svetla. Na stránke http://ukazy.astro.cz/duha-princip.php je pekne animované gif-ko pre výpočet uhlu $\gamma $. Primárna dúha, ktorú poznáme, vzniká po jednom odrazu, sekundárna dúha vzniká po dvoch odrazoch. Výpočet pre primárnu duhu môžeme vidieť na Obr. 1.

Obrázek 1: Odraz lúča v kvapke; kvapka je jednotková a teda $h$ nadobúda hodnoty od 0 po 1.

Pre uhol $\gamma $ dostaneme rovnice:

\[ \alpha =\arcsin (h)\hbox{,} \]\[ \beta =\arcsin \left(\frac{h}{n}\right)\hbox{,} \]\[ \gamma =4\beta -2\alpha \hbox{,} \]\[ \gamma =4 \arcsin \left(\frac{h}{n}\right)-2 \arcsin (h)\hbox{,} \]

kde $n$ je index lomu vody. Najväčší uhol, ktorý môžeme dostať pre primárnu dúhu je $42^{\circ }$. Intenzitu svetla uvažujeme, že maximálne budeme môcť pozorovať sekundárnu dúhu. Sekundárna dúha má najväčší uhol $51^{\circ }$; pre tento uhol bude treba výpočet adekvátne upraviť. Priaznivé podmienky pre vytvorenie dúhy sú počas a po upršanom počasí. Maximálna výška dolného okraju búrkových mrakov sa pohybuje od 2 do 3$\, \textrm{km}$.

Obrázek 2: Zeme a mraky. $E$ je miesto pozorovateľa, $D$ miesto stretu lúču a mrakov, $A$ stred Zeme a uhol $\varphi $ pootočenie Zeme od západu Slnka pre pozorovateľa $E$.

Na Obr. 2 vidíme nákres Zeme a mrakov nad ňou. Vodorovná čiara predstavuje smer svetla z ľavej na pravú stranu. Bude nás zaujímať uhol $\varphi $. $E$ označuje polohu pozorovateľa a $D$ stret lúča svetla a kvapiek vody. Uhol $ADB$:

\[ |\sphericalangle ADB|=\arcsin \left(\frac{R}{R+l}\right)\hbox{,} \]

kde $R$ je polomer Zeme na rovníku (6378$\, \textrm{km}$) a $l$ výška mrakov. Uhol $BAD$ a $ADE$:

\[ |\sphericalangle BAD|=90^{\circ }-|\sphericalangle ADB|\hbox{,} \]\[ |\sphericalangle ADE|=|\sphericalangle ADB|-42^{\circ }\hbox{.} \]

Podľa sínusovej vety uhol $AED$:

\[ \frac{\sin (|\sphericalangle ADE|)}{R}=\frac{\sin (|\sphericalangle AED|)}{R+l}\hbox{,} \]\[ |\sphericalangle AED|=\arcsin \left(\frac{(R+l)\sin (|\sphericalangle ADE|) }{R}\right)\hbox{,} \]\[ |\sphericalangle DAE|=180^{\circ }-|\sphericalangle AED|-|\sphericalangle ADE|\hbox{,} \]\[ \varphi =\sphericalangle BAD-\sphericalangle DAE\hbox{.} \]

A nakoniec čas, po ktorý uvidíme dúhu, vypočítame:

\[ t=\frac{\varphi \cdot 86400 \, \mathrm{s}}{360^{\circ }}\hbox{.} \]

Pre výšky 2–3$\, \textrm{km}$ pri primárnej dúhe dostaneme časy 5$\, \textrm{min}$ 38$\, \textrm{s}$ až 6$\, \textrm{min}$ 55$\, \textrm{s}$. Pre sekundárnu dostaneme o 3$\, \textrm{s}$ naviac.

To všetko za podmienok, že atmosféra neovplyvňuje svetelné lúče. To nie je splnené, Slnko sa nachádza približne $0,5^{\circ }$ pod horizontom, kedy sa Slnečný kotúč stratí pod horizontom, teda 2$\, \textrm{min}$ po jeho skutočnom západe za horizont, to je spôsobené optickými vlastnosťami atmosféry.

Tak isto aj fata morgána, teda odraz na vrstvách teplého alebo chladného vzduchu, pomenované tiež horný alebo dolný odraz podľa usporiadania. To všetko pridá alebo uberie čas $T$ a bude to závisieť na teplote a hustote vzduchu nie iba v mieste pozorovania, ale veľkej oblasti kade prejde lúč svetla.

Pri západe bude naša dúha postupne nadobúdať červenejšiu farbu v dôsledku disperzie. Každá dúha bude vyzerať ako časť kružnice, teda ako ju poznáme. Budeme ju pozorovať smerom na východ, chrbát budeme mať otočený k zapadnutému Slnku. Farebné usporiadanie primárnej dúhy bude od červenej k fialovej z hornej strany, sekundárna dúha bude nad primárnou s farebným usporiadaním od fialovej k červenej z hornej strany.

Kubo


1) „lúč“ znamená ve slovenštině paprsek