Úloha 5.u4: Bimetalový pásek (4 b)

Zadáno v čísle 24.5.

Řešeno v čísle 24.7.

Zadání

Bimetalový pásek je vytvořený spojením měděného a zinkového plíšku, každý z nich má tloušťku 1,5$\, \textrm{mm}$. Při teplotě $21 \, \mathrm{^{\circ }C}$ je tento pásek rovný. Jaký poloměr bude mít oblouk, do kterého se stočí po zahřátí na $120 \, \mathrm{^{\circ }C}$?

K vyřešení úlohy se vám bude hodit vědět, že rozložení napětí v zahřátém pásku vypadá tak, jak je znázorněno na obrázku 1. Nulové hodnoty nabývá v $1/3$ tloušťky každého ze dvou plíšků. Odvodit toto rozložení napětí je poměrně složité, takže jej můžete přímo použít jako výchozí bod pro vaše řešení1.

Jako bonus můžete zkusit určit, jak velké pnutí bude působit na spoj dvou kovů při tomto zahřátí.

Obrázek 1: Rozdělení normálového napětí na řezu zahřátým páskem. Nulové hodnoty nabývá napětí v $1/3$ výšky každého z kovů.

1) Obrázek vychází ze zjednodušujícího předpokladu, že modul pružnosti obou kovů je přesně stejný. Toto zanedbání se nicméně na spočtené hodnotě zakřivení pásku projeví zanedbatelně málo.

Řešení

Ako prvé si urobíme predĺženie jednotlivých kovov, akoby neboli spolu spojené:

\[ l_{\mathrm{Zn}}=l_{0}(1+\alpha _{\mathrm{Zn}} \Delta T) \]\[ l_{\mathrm{Cu}}=l_{0}(1+\alpha _{\mathrm{Cu}} \Delta T), \]

kde $l_{0}$ je počiatočná dĺžka, $\alpha _{\mathrm{Zn}} = 30 \cdot 10^{-6} \, \mathrm{K^{-1}}$ a $\alpha _{\mathrm{Cu}} = 17 \cdot 10^{-6} \, \mathrm{K^{-1}}$ sú lineárne koeficienty rozťažnosti2 zinku a medi a $\Delta T$ rozdiel teplôt. Z toho dostávame, že na vonkajšej strane ohybu bude zinkový pásik.

Môžme zanedbať rozšírenie pásiku v šírke. Tým, že ho nezapočítame, sa dopustíme chyby pod 1$\, \textrm{% }$. Ak si zadefinujeme polomer krivosti v spoji oboch kovov ako $r$ a použijeme obrázok zo zadania úlohy o rozdelení napätia, dostaneme rovnice pre predĺženie pásikov:

\[ l_{\mathrm{Zn}}=\varphi \left(r+\frac{2}{3}d\right) \]\[ l_{\mathrm{Cu}}=\varphi \left(r-\frac{2}{3}d\right), \]

kde $\varphi $ je uhol medzi koncami ohnutého pásiku v radiánoch a $d$ je hrúbka kovu. Spojíme všetky rovnice, ktoré sme zatiaľ dostali, do jednej a vyjadríme $r$:

\[ r=\frac{2}{3}\hskip0.88ptd\cdot \frac{(\alpha _{\mathrm{Zn}}+\alpha _{\mathrm{Cu}})\Delta T +2}{(\alpha _{\mathrm{Zn}}-\alpha _{\mathrm{Cu}})\Delta T} \]

Po dosadení dostaneme $r \approx 1,6 \, \mathrm{m}$.

Pre zistenie napätia na rozhraní kovov budeme uvažovať, že kovy podliehajú iba elastickej deformácii a teda deformácia je vratná. V tejto oblasti platí Hookov zákon a platí:

\[ E=\frac{\sigma }{\varepsilon }, \]

kde $E$ je Youngov modul, $\sigma $ napätie, naše pnutie, a $\varepsilon $ relatívna zmena dĺžky. Pre naše hľadané $\sigma $ pre každý kov dostaneme:

\[ \sigma _{\mathrm{Zn}}=E_{\mathrm{Zn}}\frac{l_{\mathrm{Zn}}-l}{l_{\mathrm{Zn}}} \]\[ \sigma _{\mathrm{Cu}}=E_{\mathrm{Cu}}\frac{l-l_{\mathrm{Cu}}}{l_{\mathrm{Cu}}} \]\[ l=\varphi r, \]

kde $E_{\mathrm{Zn}}=108 \, \mathrm{GPa}$ a $E_{\mathrm{Cu}}=130 \, \mathrm{GPa}$.3 Rozdiel v zápise je kvôli veľkosti $l_{\mathrm{Zn}} > l >$ $> l_{\mathrm{Cu}}$, aby sme dostali kladnú relatívnu zmenu. To je čitateľné aj z obrázku zo zadania, kde na zinok pôsobí tlak a na meď ťah. Tretia z rovníc je dĺžka oblúku v spoji. Zlomky za $E$ sú $\varepsilon $, pre ktoré dostaneme po úprave:

\[ \varepsilon _{\mathrm{Zn}}=\frac{2d}{3r+2d} \]\[ \varepsilon _{\mathrm{Cu}}=\frac{2d}{3r-2d} \]

A nakoniec po dosadení dostaneme $\sigma _{\mathrm{Zn}}\approx 67 \, \mathrm{MPa}$ a $\sigma _{\mathrm{Cu}}\approx 81 \, \mathrm{MPa}$. To spĺňa podmienku elastickej deformácie, kedy sme pod 0,1$\, \textrm{% }$ pre obe deformácie. To sedí ako rádový odhad s podmienkou v úlohe, že Youngové moduly sú si rovné (poznámka pod čiarou pri úlohe). Ak by sme s rovnosťou nepočítali, posunulo by sa nulové napätie z 2/3 výšky. Pri takomto napätí je potrebné pevne spojiť tieto dva kovy.

Kubo


1) Obrázek vychází ze zjednodušujícího předpokladu, že modul pružnosti obou kovů je přesně stejný. Toto zanedbání se nicméně na spočtené hodnotě zakřivení pásku projeví zanedbatelně málo.

2) http://www.materialing.com/teplotna_roztaznost_materialov

3) http://www.prvky.com/tvrdost-kovu.html