Úloha 4.u3: Hmotný bod na lopte (4 b)

Zadáno v čísle 24.4.

Řešeno v čísle 24.6.

Zadání

Na vodorovnej podložke máme položenú loptu o polomere $r=15 \, \mathrm{cm}$. Na jej vrchol umiestníme hmotný bod a zapôsobíme na neho malou sílou a uvedieme ho do pohybu, ale s nulovou počiatočnou rýchlosťou. Pri akom uhle $\varphi $ sa oddelí od povrchu gule a do akej vzdialenosti $d$ od miesta vypustenia dopadne (viď obrázok 1)? Hmotný bod sa pohybuje bez trenia.

Obrázek 1: Trajektória pádu bodu

Řešení

Pokud uvedeme bod do pohybu s velmi malou počáteční rychlostí, bude klouzat po míči, jeho potenciální energie se bude přeměňovat na kinetickou a kvůli tomu bude zrychlovat. Síly působící na bod budeme vyšetřovat ze soustavy s ním spojené. Pokud se posune o úhel $\varphi $, jeho potenciální energie se zmenší o hodnotu

\[ m g \Delta h = m g r (1-\cos \varphi )\mathrm{,} \]

kde $m$ je hmotnost bodu a $g$ je tíhové zrychlení. Kinetická energie $\frac{1}{2} m v^2$ vzroste na tuto hodnotu, rychlost se tedy změní z nulové na

\[ v = \sqrt {2gr(1-\cos \varphi )}\mathrm{.} \]

Na bod bude působit odstředivé zrychlení

\[ a_\mathrm {od} = \frac{v^2}{r} = 2g(1-\cos \varphi ) \]

a tíhové zrychlení, jež můžeme rozložit na tečné ve směru pohybu a normálové kolmé na rychlost, které míří do středu míče. Toto zrychlení je tedy dostředivé a má velikost

\[ a_\mathrm {do} = g \cos \varphi \mathrm{.} \]

V momentě, kdy odstředivé zrychlení překročí dostředivé, bod odletí z míče. Úhel, při kterém k tomu dojde, proto získáme z rovnice

\[ a_\mathrm {od} = a_\mathrm {do} \]\[ 2g (1-\cos \varphi ) = g \cos \varphi \]\[ \cos \varphi = \frac{2}{3}\mathrm{.} \]

Dále bude bod pokračovat ve vodorovném směru rychlostí

\[ v_ x = v \cos \varphi = \frac{2}{3} \sqrt {\frac{2}{3} g r} \]

a ve svislém směru rychlostí

\[ v_ y = v \sin \varphi = \frac{\sqrt {5}}{3} \sqrt {\frac{2}{3} g r} \]

se zrychlením $g$ směrem dolů ($\sin \varphi $ spočítáme ze vzorečku $\sin ^2\varphi + \cos ^2\varphi = 1$). Bod se pohybuje po parabole. Abychom zjistili, jakou vzdálenost urazí ve vodorovném směru, musíme spočítat, za jak dlouho spadne do nulové výšky.

Bod se nyní nachází ve výšce

\[ y = r(1+\cos \varphi ) = \frac{5}{3} r\mathrm{.} \]

Čas, za který se dostane do nulové výšky získáme z rovnice pro pohyb rovnoměrně zrychleného bodu

\[ 0 = y - v_ y t - \frac{1}{2} g t^2 = \frac{5}{3}r - \frac{\sqrt {5}}{3} \sqrt {\frac{2}{3} g r} t - \frac{1}{2} g t^2\mathrm{.} \]

Řešením je

\[ t = \frac{\pm 10 - \sqrt {10}}{3\sqrt {3}} \sqrt {\frac{r}{g}}\mathrm{,} \]

kde nás zajímá kladné znaménko (záporné odpovídá času, ve kterém by bod byl v nulové výšce a mířil směrem nahoru, kdyby se po parabole pohyboval i před opuštěním míče). Tento čas dosadíme do rovnice pro rovnoměrný pohyb ve vodorovném směru. Počáteční vzdálenost je $x=r \sin \varphi = r \sqrt {5}/3$.

\[ d = x + v_ x t = r\left(\frac{\sqrt {5}}{3} + \frac{2}{3} \sqrt {\frac{2}{3}}\cdot \frac{10 - \sqrt {10}}{3\sqrt {3}}\right) = r \frac{5}{27} \left(4\sqrt {2} + \sqrt {5}\right) = 21,92 \, \mathrm{cm}\mathrm{.} \]

Viktor