Téma t4: Odmocniny

Zadáno v čísle 24.2.

Zadání

Co je odmocnina? Začněme druhou odmocninou: $\sqrt {y} = x$ právě když $y=x \cdot x$. Co kdybychom ale odmocňování zobecnili a násobení zaměnili za jinou operaci? Pro začátek můžeme vyzkoušet odmocňování pro skládání permutací.

Permutace je matematické označení pro prohazování prvků. Takové prohazování můžeme zapsat více způsoby. Třeba zápis $(1, 3, 4, 2)$ vyjadřuje takové prohození čísel $(1, 2, 3, 4)$, kdy na prvním místě zůstane jednička, na druhém místě se objeví trojka, na třetím čtyřka a konečně na čtvrtém místě bude dvojka. Permutaci ale nemusíme použít pouze na řetězec $(1, 2, 3, 4)$, ale i na jiné posloupnosti čísel délky 4. Speciálně ji můžeme použít i na řetězec $(1, 3, 4, 2)$, pak vznikne posloupnost $(1, 4, 2, 3)$. Postupu, kdy permutaci aplikujeme na výstup jiné (nebo stejné) permutace, říkáme skládání permutací a budeme jej značit $\circ $. Naše permutace složená sama se sebou tedy dává permutaci $(1, 4, 2, 3)$, což pomocí našeho značení zapíšeme jako $(1, 3, 4, 2)\circ (1, 3, 4, 2) = (1, 4, 2, 3)$. Pozor, abychom dostali přímo výslednou permutaci, musíme začít s posloupností $(1, 2, 3, 4)$. Tato posloupnost je ostatně také permutací, velmi specifickou, která neprohodí žádná čísla. Říkáme jí také identita.

Pro snadnější skládání se hodí i jiný způsob reprezentace permutací, kdy si pomocí šipek nakreslíme, odkud kam se prohazují čísla. Pro naši permutaci by taková reprezentace vypadala jako na obrázku 1:

Obrázek 1: Grafické znázornění permutace

Pro začátek zkuste vyřešit následující problémy:

  • Které permutace složené samy se sebou dávají identitu? Zkuste najít všechny takové a charakterizovat je pro libovolně dlouhé posloupnosti čísel.

  • Představte si, že dostanete libovolnou permutaci $p$. Jak najít permutaci $q$, pro kterou platí $p = q \circ q$? Kdy taková permutace existuje?

Pokud tě skládání permutací nezaujalo, můžeš samozřejmě vymyslet jiné zajímavé operace a řešit podobné problémy pro ně.

Anet

Řešení

K tomuto tématu jsme obdrželi příspěvek Bc.MM Martina Zimena. Nejdříve Martin řešil, které permutace jsou odmocniny identické permutace, čili které permutace při složení samy se sebou dají identitu. Správně vyřešil problém pro druhé odmocniny. Jak to bude ale vypadat pro vyšší odmocniny? Existují? Pokud ano, jak vypadají? Další zajímavá otázka, kterou se Martin pokusil alespoň přibližně vyřešit, se týká počtu odmocnin identické permutace (pro permutace n-prvkové množiny).
Spočítat je není lehké, ale napovím, že je to velmi zajímavá číselná řada. Při řešení můžete použít internet, body budou i za vysvětlení, jak se k takovému vzorci dostaneme, a za příklady toho, kde všude se s danou funkcí proměnné n
můžeme setkat.
 
Martin řešil i obecnější otázku ze zadání, a to hledání „permutační odmocniny“ pro obecnou permutaci. Správně vyřešil, za jakých podmínek existuje a jak ji najít. Navíc položil zajímavou otázku na počet odmocnin dané permutace. Řešení můžete posílat až do 24. května, poté se téma uzavře.
 
Příjemné čtení přeje
Anet