Téma t4: Odmocniny

Zadáno v čísle 24.2.

Zadání

Co je odmocnina? Začněme druhou odmocninou: $\sqrt {y} = x$ právě když $y=x \cdot x$. Co kdybychom ale odmocňování zobecnili a násobení zaměnili za jinou operaci? Pro začátek můžeme vyzkoušet odmocňování pro skládání permutací.

Permutace je matematické označení pro prohazování prvků. Takové prohazování můžeme zapsat více způsoby. Třeba zápis $(1, 3, 4, 2)$ vyjadřuje takové prohození čísel $(1, 2, 3, 4)$, kdy na prvním místě zůstane jednička, na druhém místě se objeví trojka, na třetím čtyřka a konečně na čtvrtém místě bude dvojka. Permutaci ale nemusíme použít pouze na řetězec $(1, 2, 3, 4)$, ale i na jiné posloupnosti čísel délky 4. Speciálně ji můžeme použít i na řetězec $(1, 3, 4, 2)$, pak vznikne posloupnost $(1, 4, 2, 3)$. Postupu, kdy permutaci aplikujeme na výstup jiné (nebo stejné) permutace, říkáme skládání permutací a budeme jej značit $\circ $. Naše permutace složená sama se sebou tedy dává permutaci $(1, 4, 2, 3)$, což pomocí našeho značení zapíšeme jako $(1, 3, 4, 2)\circ (1, 3, 4, 2) = (1, 4, 2, 3)$. Pozor, abychom dostali přímo výslednou permutaci, musíme začít s posloupností $(1, 2, 3, 4)$. Tato posloupnost je ostatně také permutací, velmi specifickou, která neprohodí žádná čísla. Říkáme jí také identita.

Pro snadnější skládání se hodí i jiný způsob reprezentace permutací, kdy si pomocí šipek nakreslíme, odkud kam se prohazují čísla. Pro naši permutaci by taková reprezentace vypadala jako na obrázku 1:

Obrázek 1: Grafické znázornění permutace

Pro začátek zkuste vyřešit následující problémy:

  • Které permutace složené samy se sebou dávají identitu? Zkuste najít všechny takové a charakterizovat je pro libovolně dlouhé posloupnosti čísel.

  • Představte si, že dostanete libovolnou permutaci $p$. Jak najít permutaci $q$, pro kterou platí $p = q \circ q$? Kdy taková permutace existuje?

Pokud tě skládání permutací nezaujalo, můžeš samozřejmě vymyslet jiné zajímavé operace a řešit podobné problémy pro ně.

Anet