Úloha 3.u3: Prvočísla (3 b)

Zadáno v čísle 24.3.

Řešeno v čísle 24.5.

Zadání

Určete všechny trojice prvočísel $(p, q, r)$ splňující $p+q^2=r^4$.

Řešení

Budeme postupně upravovat:

\[ p+q^2=r^4 \]\[ p=r^4-q^2=(r^2+q)(r^2-q) \]

Protože je $p$ prvočíslo, tak má pouze 2 dělitele: $p$ a 1. Druhá závorka je menší, tedy bude rovna 1.

\[ r^2-q=1 \]\[ q=r^2-1=(r+1)(r-1) \]

Protože i $q$ je prvočíslo, tak má dělitele pouze $q$ a 1. Závorka $(r-1)$ je menší, proto $r-1=1$, tedy $r=2$.

Z toho dopočítáme $q$:

\[ q=r^2-1=2^2-1=3 \]

A nyní dopočítáme $p$:

\[ p=r^4-q^2=2^4-3^2=7 \]

Toto je tedy jediné řešení dané rovnice.

Našli jsme tedy řešení $(p, q, r)=(7, 3, 2)$, které odpovídá zadání, a zároveň jsme ukázali, že žádné jiné řešení neexistuje.

Petr