Úloha 2.u3: Namočený kondenzátor (5 b)

Zadáno v čísle 24.2.

Řešeno v čísle 24.4.

Zadání

Máme deskový kondenzátor, jehož spodní část je ponořená do vody jako na obrázku 1. Na kondenzátor je přivedené napětí $U=200 \, \mathrm{V}$ a vzdálenost desek je $d = 0,4 \, \mathrm{mm}$. Pokud zanedbáme kapilární jevy, do jaké výšky $z$ vystoupá vodní hladina? Jev se ustálí po dosažení minima energie soustavy.

Obrázek 1: Kondenzátor ponořený do vody

Řešení

Táto elektromechanická sústava je pripojená na konštantné napätie a pôsobí na ňu ťiažové pole Zeme.

Naša izolovaná sústava bude smerovať k rovnováhe, kedy jej celková elektromechanická energia bude minimálna. Celková energia $E$ bude súčtom energie nabitého kondenzátora $E_\mathrm {k}$, potencionálnej energie stĺpca vody $E_\mathrm {p}$ a energie zdroja napätia $E_\mathrm {z}$. Minimum dosiahne stratami a to napríklad trením kvapaliny o steny kondenzátora a viskozitou kvapaliny. Kapacitu kondenzátora určíme ako súčet dvoch paralelných kondenzátorov o výške $(H-z)$ a $z$, kde $H$ je výška dosiek kondenzátora. Z toho dostaneme kapacitu $C$:

\[ C=\frac{\varepsilon _0 L}{d}[H+(\varepsilon _{\mathrm{r}}-1) z]\hbox{,} \]

$\varepsilon _{\mathrm{r}}$ v našom prípade je relatívna permitivita vody a $L$ vodorovná dĺžka platní kondenzátora. Nulovú hodnotu $E_\mathrm {k}$ si zadefinujeme na úrovni hladiny vody, kedy je $z=0$. Z toho si vypočítame $E_\mathrm {k}$:

\[ E_\mathrm {k}=\frac{C U^2}{2}=\frac{\varepsilon _0 L U^2 [H+(\varepsilon _{\mathrm{r}}-1) z]}{2d} \]

Potenciálna energia $E_\mathrm {p}$ ak si zvolíme nulovú hladinu potenciálu na úrovni hladiny vody podobne ako $E_\mathrm {k}$:

\[ E_\mathrm {p}=\frac{\rho L d g z^2}{2}\hbox{,} \]

$\rho $ je hustota vody, $d$ vzdialenosť dosiek kondenzátora a $g$ tiažové zrýchlenie. Energia zdroja $E_\mathrm {z}$ bude mať neznámu hodnotu $E_0$, z ktorej odobereme prácou $W=QU=CU^2$ energiu potrebnú na prenesenie náboja $Q=CU$ na dosky kondenzátora. Prácu budeme počítať pre náš prípad kondenzátora od vodnej hladiny.

\[ E_\mathrm {z}=E_0-\frac{\varepsilon _0 L U^2 \left[H+\left(\varepsilon _{\mathrm{r}}-1\right) z\right]}{d} \]

Celková energia bude rovná:

\[ E=E_\mathrm {k}+E_\mathrm {p}+E_\mathrm {z}=E_0-\frac{\varepsilon _0 L U^2 \left[H+\left(\varepsilon _{\mathrm{r}}-1\right) z\right]}{2d}+\frac{\rho L d g z^2}{2} \]

Minimum sa dá jednoducho nájsť prvou deriváciou podľa $z$, tá je v minime rovná 0:

\[ \frac{\mathrm{d}^{ }E(z)}{\mathrm{d}z^{ }}=\frac{\varepsilon _0(\varepsilon _{\mathrm{r}}-1) L U^2}{2d}+\rho L d g z=0 \]

Z toho dostaneme rovnovážnu výšku vodného stĺpca $z_\mathrm {r}$:

\[ z_\mathrm {r}=\frac{\varepsilon _0(\varepsilon _{\mathrm{r}}-1) U^2}{2d^2\rho g} \approx 9 \, \mathrm{mm} \]

Existuje druhý postup riešenia bez použitia derivácie, ktorý použila Bc. Marie Kalousková. Budeme počítať, aké budú $\Delta E_\mathrm {k}$, $\Delta E_\mathrm {z}$, $\Delta E_\mathrm {p}$ a $\Delta C$ od zmeny výšky hladiny $\Delta z$. Pre kapacitu dostaneme:

\[ \Delta C=\frac{\varepsilon _0 (\varepsilon _{\mathrm{r}}-1) L \Delta z}{d} \]

Na to dostaneme zmenu energie kondenzátora, zdroja a potenciálnej energie:

\[ \Delta E_\mathrm {k}=\frac{\varepsilon _0 (\varepsilon _{\mathrm{r}}-1) L U^2 \Delta z}{2d} \]\[ \Delta E_\mathrm {z}=-\frac{\varepsilon _0(\varepsilon _{\mathrm{r}}-1) L U^2 \Delta z}{d} \]\[ \Delta E_\mathrm {p}=\frac{\rho L d g z \Delta z}{2} \]

Následne z rovnosti

\[ -\Delta E_\mathrm {z}=\Delta E_\mathrm {k}+\Delta E_\mathrm {p} \]

po upravách dostaneme

\[ z=\frac{\varepsilon _0(\varepsilon _{\mathrm{r}}-1) U^2}{2d^2\rho g}\hbox{.} \]

Kubo