Úloha 1.u2: Modrá kulička (3 b)

Zadáno v čísle 24.1.

Řešeno v čísle 24.3.

Zadání

Určete, z jaké vzdálenosti by musela být pořízena fotografie Zeměkoule, aby vypadala tak, jak je naznačeno na Obrázku 1.

Nezapomeňte kromě samotné vzdálenosti také napsat, jak jste k výsledku dospěli, a zkuste odhadnout nepřesnost vaší metody.

Obrázek 1: Schématické znázornění fotografie Země.

Řešení

K této úloze přišlo mnoho řešení, bohužel se však mezi nimi nenašel ani jediný správný výsledek. Všechna kompletní řešení totiž udělala zásadní chybu v tom, že ve svém odhadu využívala „tečných bodů“, které vidíme na kraji obrázku, tedy v místech, kde je povrch Země téměř rovnoběžný s naším pohledem, což se projeví enormním nárůstem odchylky. Proto i řešení, která byla v principu správně, došla k výsledku řádově tisíce kilometrů vzdálenému skutečnosti.

Obrázek byl generován ze vzdálenosti 18 340$\, \textrm{km}$ od středu Země a zde předvedu postup, jak se dalo k tomuto výsledku dopracovat s rozumnou odchylkou.

Obrázek 2: Dírková komora

Začneme tím, že si uvědomíme, jak taková fotografie vzniká. Princip nejjednoduššího způsobu, tzv. dírkové komory, spočívá v průchodu paprsku jdoucího z jistého bodu pozorovaného objektu skrz úzkou štěrbinu a v následném dopadu na stínítko, jímž je např. film, na němž zůstane po paprsku zanechána stopa (viz Obr. 2). Snadno se ověří, že každému bodu filmu odpovídá právě jeden bod focené scény, a že je takováto komora charakterizována jediným parametrem $y$, jímž je vzdálenost stínítka od štěrbiny. Snadno si rovněž každý představí, že aby vznikl tak pěkně symetrický obrázek, jako v zadání, musí fotoaparát zabírat Zemi zpříma, tj. paprsek jdoucí ze středu Země by dopadl na film kolmo.

Princip čočkového fotoaparátu by byl podobný, čočka slouží především k přivedení více světla.

Další postup je následující: nalezneme střed obrázku (11,3$^\circ $ v.d. a 46,2$^\circ $ s.š.) a k němu nejméně jeden další dobře identifikovatelný „pomocný“ bod na obrázku. K nim změříme jejich vzdálenost na obrázku $x$ a jejich skutečnou vzdálenost po povrchu Země (to lze, chceme-li se vyhnout složité goniometrii, např. v jakémkoli trochu pokročilém programu online map), ze které pak snadným lineárním převodem vyvodíme úhel $\alpha $, pod kterým by tyto dva body byly vidět ze středu Země. Dále označíme-li strany a úhly vzniklého obrazce tak jako na Obr. 2, očividně ze sinové věty platí (úhly jsou udávány v radiánech):

\[ \mathop {\rm tg}\nolimits \left(\varphi \right)=\frac{x}{y} \]\[ \frac{d}{\sin \left(\pi -\alpha -\varphi \right)}=\frac{R_ z}{\sin \left(\varphi \right)} \]

Zároveň pokud jako druhý „pomocný“ bod vybereme tečný bod, je z Obr. 2 patrné, že vzniknou dva sobě podobné trojúhelníky, z čehož lze vyvodit:

\[ \frac{x\left(R_ z\right)}{y}=\frac{R_ z}{\sqrt {d^2-R_ z^2}} \Rightarrow y=\frac{x\left(R_ z\right)}{R_ z}\sqrt {d^2-R_ z^2}=x\left(R_ z\right)\sqrt {\frac{d^2}{R_ z^2}-1}, \]

kde $x\left(R_ z\right)$ lze chápat jako poloměr zadaného obrázku. Dosazením do předchozího vzejde:

\[ \frac{d}{R_ z}=\frac{\sin \left(\pi -\alpha -\varphi \right)}{\sin \left(\varphi \right)} = \frac{\sin \left(\pi -\alpha \right)\cos \left(-\varphi \right)+\cos \left(\pi -\alpha \right)\sin \left(-\varphi \right)}{\sin \left(\varphi \right)}= \]\[ =\frac{\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\varphi \right)}{\sin \left(\varphi \right)}+\frac{\cos \left(\alpha \right)\sin \left(\varphi \right)}{\sin \left(\varphi \right)}=\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\mathop {\rm tg}\nolimits \left(\varphi \right)}+\cos \left(\alpha \right)= \]\[ =\sin \left(\alpha \right)\frac{x\left(R_ z\right)}{x}\sqrt {\frac{d^2}{R_ z^2}-1}+\cos \left(\alpha \right) \]

Pro pevně zadaný pomocný bod jsou nám známy všechny proměnné v získané rovnici s výjimkou parametru $d$, který představuje právě námi hledanou vzdálenost fotoaparátu od středu Země. Je to už však jen jedna rovnice o jediné neznámé, kterou navíc není ani obtížné přepsat na polynom, který umíme snadno vyřešit. Jeho obecné řešení by bylo na zápis poněkud komplikované a nebude zde uvedeno, pokud však dosadíme za známé proměnné konkrétní číselné hodnoty, práce se značně zjednoduší.

Co se týče odchylky nalezené hodnoty, ta lze z explicitního vzorce pro výpočet polynomu odvodit například snadno pochopitelnou metodou aritmetiky odchylek, tedy opakovanou aplikací vztahů:

\[ \overline{a\pm b}=\overline{a}+\overline{b} \]\[ \overline{ab}=a\overline{b}+b\overline{a} \]\[ \overline{\left(\frac{a}{b}\right)}=\frac{\overline{a}}{b}+\frac{a\overline{b}}{b^2} \]\[ \overline{a}^ n=n\overline{a}a^{n-1} \]

Vzhledem k tomu, že pro odchylku stačí jen hrubý odhad a že bylo v zájmu zvýšení přesnosti metody volit pomocný bod blíže středu než kraji obrázku, nemusíme se zde bát aproximace

\[ \sin \left(\alpha \right)=\alpha ; \cos \left(\alpha \right)=\sqrt {1-\alpha ^2} \]

platné pro malé hodnoty $\alpha $ a nadále používat aritmetiku odchylek.

Evžen