Úloha 1.u1: Šestiúhelník (3 b)

Zadáno v čísle 24.1.

Řešeno v čísle 24.3.

Zadání

Existuje šestiúhelník takový, že všechny jeho vnitřní úhly jsou stejně velké a délky stran jsou 1, 2, 3, 4, 5, 6 (v libovolném pořadí)?

Řešení

Ano, takový šestiúhelník existuje. Ukážeme si jednoduchý způsob, jak jeho existenci dokázat. Vezmeme si rovnostranný trojúhelník o straně délky 9. Z jeho rohů odkrojíme rovnostranné trojúhelníky o stranách 1, 2 a 3. Ze stran velkého trojúhelníku zbyly úseky dlouhé 4, 5 a 6. Díky tomu, že odkrajované trojúhelníky svírají s původními stranami úhel 60$^\circ $, má náš šestiúhelník všechny úhly 120$^\circ $. Zároveň má kýžené délky stran.

Obrázek 1: Jedno z možných řešení úlohy

Tímto způsobem jsme sestrojili řešení, které uspořádává strany šestiúhelníka v pořadí 1, 5, 3, 4, 2, 6. Kromě něj existuje ještě jedno řešení a to uspořádává strany v pořadí 1, 4, 5, 2, 3, 6. Každé z těchto řešení existuje ve 12 otočeních a/nebo převráceních. Početní způsob, jak tato řešení najít bez výše uvedeného nápadu, je všimnout si, že každá dvojice sousedních stran musí dávat stejný součet jako protilehlá dvojice sousedních stran, jinak by nebyly zbývající dvě strany šestiúhelníka rovnoběžné. Po chvíli zkoušení dospějeme k těmto dvěma řešením.

Martin