Řešitelský článek: Gravitace ve Flatlandu

Ondřej Knopp (15,0 b)

Vyšlo v čísle 23.6.

 

Teoreticky

Často se vysvětluje gravitace v moderním smyslu jako zakřivování časoprostoru hmotným tělesem za pomoci napnuté blány. V takové demonstraci se na blánu vloží nějaký hmotný předmět, kupříkladu kulečníková koule, která takovou blánu prohne. Často je blána napnutá už na nějaké železné obruče a prohnutí je tak vytvořeno napevno. Následovně se vezme nějaký jiný menší sféricky symetrický objekt a ten se vhodí na takovou zakřivenou blánu. Dle způsobu, jakým takový menší objekt vhodíme na blánu, nám ukáže různé trajektorie. Nejčastěji však menší objekt spadne k těžšímu objektu nebo do nejnižšího bodu na prohnuté bláně. Někdy se také podaří menší objekt vhodit takovým způsobem, že provede pár orbit okolo středu zakřivené blány, a tak se dá ukazovat existence orbit planet právě v zakřiveném časoprostoru. Důležitá otázka však je, jak i se zanedbáním tření je tato demonstrace gravitace blízká skutečnosti.

Newton a pole

Prvně je důležité zavést problematiku a pojmy spojené s popisem gravitace, tak jak je klasicky známý. Tím mám na mysli Newtonův gravitační zákon a užitečné veličiny, které nám jeho obecný popis zjednoduší.

Newtonův gravitační zákon říká, že okamžitá síla působící vzájemně mezi dvěma hmotnými objekty směřuje vzájemně přitažlivě mezi nimi a její velikost je

$$ F=G\frac{Mm}{r^2}. $$

Zde $m$ a $M$ jsou hmotnosti daných objektů, $r^2$ značí čtverec jejich vzdáleností a $G$ je Newtonova gravitační konstanta. Ta nám vztahuje naše jednotky hmotnosti a vzdálenosti vůči síle mezi nimy. Říká nám tedy jak moc silná gravitace je.

Často nám však silový popis nestačí. Další způsoby popisů jsou často v našich případech užitečné, pokud jedno z těles, kupříkladu to s hmotností $M$, je oproti tomu druhému tak masivní, že jím gravitace od toho druhého nepohne. Nyní se budeme bavit o dvou veličinách vlastních menšímu tělesu, na které se budeme dívat. První z nich je potenciální energie. Tato energie závisí na vzdálenosti od centrálního tělesa. Budu jí značit $E_ p(r)$, kde $r$ je právě tato vzdálenost. Pokud se těleso nachází ve vzdálenosti $r_0$ od centrálního tělesa a pak se přesune do vzdálenosti $r$, tak se $E_ p(r_0)-E_ p(r)$ přemění na energii kinetickou.

Obecně si tuto potenciální energii mohu vyjádřit jako
$$ \phi (r)=-G\frac{M}{r}. $$

Dále vidíme, že platí $E_ p(r)=m\phi (r)$, kde $m$ je hmotnost tělesa, které má tuto potenciální energii. Můžeme říct, že danému tělesu gravitační potenciál dává potenciální energii. Potenciál nám pomáhá oprostit se od gravitační síly dle Newtona a zaměřit se na gravitaci jako na pole. Každý hmotný objekt okolo sebe vytváří gravitační pole popsatelné potenciálem $\phi (r)$, kde každému bodu v prostoru je nějaký přiřazen. Pokud je v prostoru objektů více, jejich potenciály se sčítají. Nyní každému bodu v prostoru jsme schopni přiřadit gravitační potenciál. Pokud do prostoru nyní přidáme objekt o hmotnosti $m$, tak jsme schopni se dopočítat jeho potenciální energie v tomto bodě a z potenciální energie i síly, která na něj působí. Je nutné také vědět to, že pro velikost síly platí

$$ \label{eq:FEp} F=-\nabla E_ p(x,y,z)=-m\nabla \phi (x,y,z)\, . $$

 centrální objekt je to však pouze

$$ F=- \frac{d E_p(r)}{d r}=-m \frac{\mathrm{d} \phi(r)}{\mathrm{d} r} $$

pokud říkáme, že síla je kladná ve směru od centrálního tělesa. Je nutné si zapamatovat, že rovnice (2) platí obecně a i pro naši sílu na membráně, která má představovat gravitaci. Tuto sílu budeme schopni pro lehká tělesa okolo nějakého těžkého určit z tvaru membrány. Tento tvar zjistíme potom, co si projdeme hlavním peklem této úlohy. Až potom se vrátíme k využití těchto pojmů.

O tvaru membrány

Nyní je nutné tedy porovnat potenciál okolo jednoho hmotného objektu, který se při demonstracích nejčastěji vyskytuje. Blána se může napnout na nějakou kruhovou obruč a ze zřejmých důvodů těžká koule spadne vždy do jejího středu. Můžu předpokládat, že prohnutí blány je kruhově symetrické se středem v hmotném objektu. Za toho předpokladu můžu takové prohnutí vyjádřit jako funkci $f(r)$ výšky blány ve vzdálenosti $r$ od osy souměrnosti, jenž prochází středem hmotné koule. Definiční obor takové funkce je však značně omezen na rozměry aparatury. Jistě platí, že $r < R$, kde $R$ je poloměr zmiňované železné obruče. Dále je nutné, aby $r>\rho $, kde $\rho $ je poloměr kružnice doteku těžké koule s membránou nebo poloměr menší železné obruče, která drží takto blánu dole. Definiční obor je tedy nutně $D _\mathrm {f}=(\rho ,R)$. Při vytváření modelu prohnutí je nutné popsat i fyzikální chování takové blány. Blánou může být kupříkladu nějaká pružná látka. Budu předpokládat dokonalou elasticitu blány. Blána se prohne tak, aby minimalizovala svou potenciální energii. Hmotnost blány, či její plošná hustota, by měla být zanedbatelná. Potenciální energie blány bude tedy schovaná právě v jejím napnutí. Pro dokonale elastický materiál potenciální energie jeho napnutí $E$ je přímo úměrná ploše $S$, na kterou je natažená, kterou zabírá napnutá membrána. Do této plochy se v případě s hmotnou koulí počítá i plocha doteku koule a membrány. Taková plocha pro obecný případ je různá pro různé prohnutí blány. Prozatím budu předpokládat, že je konstantní. Pokud je energie uložená v napnutí přímo úměrná ploše, pak se musím pokusit najít takové prohnutí blány, při kterém bude blána zabírat nejmenší plochu. Příspěvek plochy od infinitezimálně širokého prstence blány s poloměrem $r$ je

$$ \mathrm{d} S=o\, \mathrm{d} s=2\pi r \sqrt {1+\left(\frac{\mathrm{d}^{ }f}{\mathrm{d}r^{ }}\right)^2}\mathrm{d} r\, , $$

kde první člen $o$ započítává do plochy celý obvod prstence a druhý člen $\d s$ je infinitezimální příspěvek délky křivky na průřezu membránou. Nyní je již úkolem variačního počtu zminimalizovat celkovou plochu, kterou nyní můžeme vyjádřit integrálem

$$ S=\int _\rho ^ R \mathrm{d} S= \int _\rho ^ R 2\pi r \sqrt {1+\left(\frac{\mathrm{d}^{ }f}{\mathrm{d}r^{ }}\right)^2} \mathrm{d} r $$

Minimalizací integrálu neznámé funkce se zabývá oblast matematiky často zneužívaná fyziky jménem variační počet. Pro jeho aplikaci je důležité si zavést několik pojmů. První z nich je variace. Nechť je funkce $f(r)$ právě ta funkce, kterou hledám. Označím si jakoukoliv funkci $\tilde{f}(r)$, která se $f(r)$ blíží v každé funkční hodnotě pro každé $r$ z definičního oboru. Přeci je mezi těmito funkcemi nějaký rozdíl. Takový rozdíl se jmenuje variace funkce $f(r)$ a značí se jako

$$ \delta f(r)=\tilde{f}(r)-f(r). $$

ZáložkaDále si zavedu snad předposlední matematický pojem, a tím je funkcionál. To je nějaké zviřátko, v tomto případě plocha $S$, které mi sežere nějakou funkci a vyplivne mi konkrétní číslo. Proces přežvykování nějaké funkce je pro takové zviřátko právě nahoře zmíněný integrál. Podívám-li se na spoustu takových funkcionálů ve fyzice, můžu si všimnout, že většina takových zviřátek má něco společného. Často taková zviřátka vezmou funkci, její, ve většině případů, první derivaci dle jejího argumentu a nakonec i právě proměnou v argumentu funkce, a provedou s nimi integraci právě podle této neznámé odněkud někam. Často není důležité odkud kam pro hledání samotné funkce $f(r)$. Jediné podstatné, co se pro různé funkcionály liší, je výraz obsažený v integrálu. Takový výraz si nazveme integrant funkcionálu $\mathcal{F}(f)$ (obecně) a značí se $F(f(r),f’(r),r)$ #footnote1. Pro takovou dvojici platí

$$ \mathcal{F}(f)=\int _ a^ b F\left(f(r),f’(r),r\right)\mathrm{d} r . $$

Abychom zde moc neabstrahovali, je nutné zmínit, že integrandem našeho funkcionálu $S$, jenž funkci popisující tvar blány přiřadí plochu natažené blány, je

$$ F\left(f(r),f’(r),r\right)=2\pi r\sqrt {1+\left(f’(r)\right)^2} . $$

Pokud provedu variaci nějaké funkce, tak jak jsme to provedli předtím s funkcí $f(r)$, pak mohu zaznamenat i nějakou malou odchylku od původní hodnoty funkcionálu funkce $f(r)$. Zavedu si tedy variaci funkcionálu jako

$$ \delta \mathcal{F}(f)=\mathcal{F}(\tilde{f})-\mathcal{F}(f) . $$

Konkrétně jde o rozdíl integrálů

$$ \delta \mathcal{F}(f)=\int _ a^ b F\left(\tilde{f}(r),\tilde{f}’(r),r\right)\mathrm{d} r- \int _ a^ b F\left(f(r),f’(r),r\right)\mathrm{d} r . $$

Je dobré si povědět, co nám dokáže variace funkcionálu povědět o průběhu funkcionálu v závislosti na funkci. Stejně jako pro derivace platí, že pokud obecná funkce $f’(x)=0$, pak v bodě $x$ existuje lokální extrém, či inflexní bod. To samé platí pro variaci funkcionálů. Pokud platí

$$ \delta \mathcal{F}(f)=0, $$

tak je funkcionál pro funkci $f$ extremální, tedy minimální nebo maximální.

ZáložkaV této chvíli jsme velice střídmě, ale přesto příliš formálně popsali náš problém a nevíme co s ním dále. Jedna věc nás nyní dokáže spasit a tou jsou právě malá čísla, se kterými se zde potýkáme. Malá čísla jsou často velice výhodnou věcí, která nám povolí linearizaci předchozích výrazů. Integrant funkcionálu pozměněné funkce $\tilde{f}(r)=f(x)+\delta f(x)$ se dá za pomoci Taylorova rozvoje rozepsat na polynomickou řadu v okolí hledané funkce $f(r)$. Taylorův rozvoj je obecně branou linearizace pro mnoho problémů jako je právě tento. Nutné je také podotknout, že věci, které se mění a které nás při této linearizaci zajímají, je právě funkce $\tilde{f}$ #footnote2 a její první derivace ${\tilde{f}’=f’+\delta f’}$, kde cokoliv, co má před sebou $\delta $, je malé. A nyní k linearizaci samotné

$$ F\left(\tilde{f},\tilde{f}’,r\right)=F\left(f,f’,r\right)+ \left(\frac{\partial F\left(f,f',r\right)}{\partial f}\right)\delta f+ \left(\frac{\partial F\left(f,f',r\right)}{\partial f'}\right)\delta f’+\ldots $$

Jak je naznačeno trojicí teček, Taylorova řada má i další členy, ale ty závisí již na druhých mocninách variací funkce a její derivace, které jsou právě zanedbatelné díky této lineární aproximaci. Tato aproximace se však stane pravdou pro limitně malé $\delta f$.

Nyní vidíme, že se dokážeme posunout s naší problémem o kus dále, když takto zaproximovaný integrant funkcionálu pro zvariovanou funkci $f(x)$ dosadím do výrazu pro variaci funkcionálu. Ta se nám totiž zjednoduší na

$$ \delta \mathcal{F}(f)=\int _ a^ b\left(\left(\frac{\partial F\left(f,(f)',r\right)}{\partial f}\right)\delta f+ \left(\frac{\partial F\left(f,(f)',r\right)}{\partial f'}\right)\delta f’ \right)\mathrm{d} r=0 . $$

S částí takového výrazu již jsme schopni pracovat. Konkrétně jde o výraz druhý, jenž dokonce dokážeme evaluovat, neboť se nabízí pro integrování per partes. Za pomoci tohoto pravidla vím, že platí

$$ \int _ a^ b\left(\frac{\partial F\left(f,f',r\right)}{\partial f'}\right)\delta f’\mathrm{d} r= \left[\left(\frac{\partial F\left(f,f',r\right)}{\partial f'}\right)\delta f\right]_ a^ b- \int _ a^ b\frac{\mathrm{d}^{ }~ }{\mathrm{d}r^{ }}\left(\frac{\partial F\left(f,f',r\right)}{\partial f'}\right)\delta f\, \mathrm{d} r $$

Nyní je dobrá věc vysvětlit hodnotu výrazu, který nám právě utekl z integrálu. Jeho hodnota je jednoduše 0, a to z dobrého důvodu. Jedna věc, kterou jsem nezmínil, je to, že variace od nějaké funkce nemůže být libovolná. Ony i limity, ve kterých integrujeme, mají svůj význam. Platí totiž ${\delta f(a)=\delta f(b)=0}$. Pro odůvodnění se stačí zamyslet nad podstatou příkladu, který nás dotáhl až do této matematické patálie. Variace od funkce, která nám kupříkladu popisuje tvar blány jako závislost výšky na vzdálenosti od osy rotace, musí být v krajních bodech nulová, protože hodnoty funkce v těchto bodech známe. Jde například o výšku obruče, která nám drží blánu nahoře a výšku, ve které se velká koule dotýká volné blány samotné. Proto v těchto bodech musí být variace nulová, neboť funkce $f’$ se musí dát taky natáhnout mezi těmito dvěma body.

S touto informací můžu hledanou nulovou variaci funkcionálu vyjádřit pouze jako

$$ \delta \mathcal{F}(f)=\int _ a^ b\left(\frac{\partial F\left(f,f',r\right)}{\partial f}- \frac{\mathrm{d}^{ }~ }{\mathrm{d}r^{ }}\frac{\partial F\left(f,f',r\right)}{\partial f'}\right)\delta f\, \mathrm{d} r=0 $$

Nyní jsme s matematikou hotovi a stačí se pouze zamyslet. $\delta f(r)$ může být jakákoliv malá změna. Za předpokladu, že by se výraz uvnitř integrálu nerovnal nule, pak bychom byli schopni vždy najít takové $\delta f(r)$ pro něž by rovnice neplatila. Pokud toto má být pravda pro každé $\delta f(f)$, pak musí platit

$$ \frac{\partial F\left(f,f',r\right)}{\partial f}-\frac{\mathrm{d}^{ }~ }{\mathrm{d}r^{ }}\frac{\partial F\left(f,f',r\right)}{\partial f'}=0, $$

Takto jsme odvodili něco velice obecného. Této obecnosti se říká Euler-Langrangova rovnice a je to mocná zbraň na úlohu jako je tato a mnoho dalších. Nejčastěji se s ní však setkáme v Langrangově zápisu teoretické mechaniky. Ta nás prozatím nebude nijak zajímat.

Výhodou i nevýhodou této rovnice je to, že nezávisí na limitách integrace. To je příhodné, neboť takto dostaneme velice obecné vyjádření tvaru funkce. Tento tvar však později budeme muset nacpat na naše okrajové podmínky. Teď se vrátíme zpět k našemu příkladu a vypočítáme konkrétní výrazy pro náš integrant funkcionálu vyjadřující plochu, na kterou je blána napnuta. Postupně si vypočteme všechny členy:

$$ \frac{\partial F\left(f,f',r\right)}{\partial f}=0 $$

To je pravdou, neboť podíváme-li se na integrant našeho funkcionálu, tak vidíme, že vůbec nezávisí na této funkci přímo. Druhý člen však již nabude nějaké hodnoty.

$$ \frac{\partial F\left(f,f',r\right)}{\partial f'}=\frac{\partial ~ }{\partial f'}\left(2\pi r\sqrt {1+\left(f’\right)^2}\right)= 2\pi r\cdot \frac{f'}{\sqrt {1+\left(f’\right)^2}} $$

Protože však druhý člen je roven nule, pak se dá jednoduše napsat

$$ \frac{\mathrm{d}^{ }~ }{\mathrm{d}r^{ }}\left(2\pi r\cdot \frac{f'}{\sqrt {1+\left(f’\right)^2}}\right)=0 $$

Pokud se tento výraz s $r$ nemění, pak musí být konstantní. Zde nám vyleze první tzv. integrační konstanta. Těch nám vylézá při podobných výpočtech plno a to je dobrá věc. Měněním hodnot takových konstant jsme totiž schopni pak obecný tvar nalezené funkce napasovat na naše okrajové podmínky. Tuto první konstantu si označím kupříkladu $a$. Protože tuším, co mně čeká, tak si tento konstantní výraz dám roven

$$ 2\pi r\cdot \frac{f'}{\sqrt {1+\left(f’\right)^2}}=2\pi a $$

Po pár úpravách si nyní mohu derivaci mojí funkce vyjádřit jako

$$ f’(r)=\sqrt {\frac{a^2}{r^2-a^2}}=\sqrt {\frac{1}{x^2-1}}\, , x=\frac{r}{a} $$

Z fyzikálního pohledu si mohu všimnout toho, že pokud $f(r)$ mi říká nějakou výšku např. v metrech a závisí také na nějaké vzdálenosti, pak je jeho derivace bezrozměrná, proto je přinejmenším šikovné si zavést také bezrozměrnou hodnotu $x$ definovanou jako předchozí poměr. Neboť jde o poměr bezrozměrný, nutně také platí, že konstanta $a$ se dá vyjádřit v metrech. Dále si mohu vyjádřit derivace $f(r)$ dle $x$ místo dle $r$. Rovnice pro derivaci dle $x$ vypadá následovně

$$ \frac{\mathrm{d}^{ }f(x)}{\mathrm{d}x^{ }}=a\sqrt {\frac{1}{x^2-1}} $$

Samotnou funkci $f(x)$ nyní mohu zjistit pouhopouhou integrací.

$$ f(r)=a\int \sqrt {\frac{1}{x^2-1}}\mathrm{d} x=a\ln \left(x+\sqrt {x^2-1}\right)+c=a\cosh ^{-1}(x)+c . $$

Zde $\cosh ^{-1}$ značí inverzní kosinus hyperbolický. Postupem integrace není nutné se zabývat, neboť jde o zdlouhavou a hloupou práci, která není důležitá.

Pojďme si nyní promyslet význam konstant, které nám vznikly, když si rozepíšeme funkci jako

$$ f(r)=a\cosh ^{-1}\left(\frac{r}{a}\right)+c $$

Není těžké odhadnout, co bude znamenat konstanta $c$. Tato konstanta nám bude pouze posouvat blánou nahoru a dolů dokud nebude ve správné výšce. S konstantou $a$ to bude složitější. Je nutné podotknout, že $a$ nám neříká něco jenom o tvaru křivky, ale i definičním oboru funkce $f(r)$. To je způsobeno tím, že $\cosh ^{-1}(x)$ je definován pouze pro $x\geq 1$. Pokud například platí, že $\rho \leq a$, kde $\rho $ je dolní hranice definičního oboru funkce $f(r)$, pak víme, že něco nedává smysl. To znamená, že jsme $a$ či $\rho $ buď špatně změřili, vypočítali nebo dokonce se nacházíme v nějakém krajním případě, který z fyzikálních důvodů způsobuje to, že náš model není přesný. Dále je vidět to, že se zvyšujícím se $a$ sice $f(r)$ roste, ale je pak méně strmá. Obecně $a$ je právě ta důležitá konstanta, která nám popisuje falešnou gravitaci na bláně, tedy její zakřivení.

Nyní máme snad dobrý matematický popis zakřivené blány. Nyní v našem vesmíru můžeme zavést přitažlivou sílu, gravitaci, jejíž potenciál je

$$ \phi (r) = ga\cosh ^{-1}\left(\frac{r}{a}\right)-\phi _0, $$

kde $g=9,81 \, \mathrm{ms^{-2}}$ je gravitační zrychlení v prostředí, ve kterém demonstraci provádíme, a $\phi _0$ je pouze nějaká konstanta, která nám určuje, v jaké vzdálenosti je potenciál nulový. Dále je zde síla, kterou je menší kulička o hmotnosti $m$ táhnuta dolů. Pro sílu platí

$$ \mathbf{F}=-m\frac{\partial \phi }{\partial r}\hat{\mathbf{r}}=-gm\cdot \sqrt {\frac{a^2}{r^2-a^2}}\hat{\mathbf{r}}. $$

Zde je vyjádřeno to, že síla je radiální a míří směrem k těžké kouli, neboť $\hat{\mathbf{r}}$ značí jednotkový vektor mířící od těžké koule k malé kuličce.

Nyní je dobré porovnat tento model se skutečností, alespoň se skutečností z pohledu newtonowské gravitace. Pro sílu, jíž velice těžké těleso působí na nějaké menší, jako je to v tomto případě, platí

$$ \mathbf{F}_ R=-\frac{mC}{r^2}\hat{\mathbf{r}}, $$

kde $C$ je nějaká konstanta, která závisí i na hmotnosti velkého tělesa. Tomu odpovídá po opětovném zintegrování potenciál

$$ \phi _ R(r)=-\frac{C}{r}+\phi _ e. $$

Už od pohledu je vidět, že v obou případech jde o velice jiné výrazy. Zda-li se však jedná o diametrálně různé výrazy, můžeme zjistit provedením následující aproximace. Nechť $a\ll r$. V tom případě mohu aproximovat potenciál kuličky na bláně jako

$$ \phi (r)\approx ga\ln (r)-\phi _ a. $$

Šlo o aproximaci inverzního cosinu hyperbolického na logaritmus. Při této aproximaci se ve výrazu objevilo mnoho dalších konstant, které mě však nezajímají, a tak jsem je všechny schoval do nové referenční potenciální energie. Nyní síla za použití stejné aproximace nabude tvaru

$$ \label{eq:2DApp} \mathbf{F}\approx -gm\frac{a}{r}\hat{\mathbf{r}}. $$

Zde je vidět, že opravdu obě pozorované síly na malý objekt jsou diametrálně jiné. Zatímco newtonovská gravitace ukazuje, že síla klesá se druhou mocninou vzdálenosti, na bláně klesá s první mocninou vzdálenosti od osy svislé symetrie.

Porovnáním potenciálů dostaneme ještě zajímavější výsledek. V našem světě existuje koncept únikové rychlosti. Protože reálný potenciál klesá s první mocninou, tak se jako každá správná hyperbola v nekonečnu blíží nějaké hodnotě. Pokud dodáme tělesu takovou energii, že je schopno překonat tuto hodnotu, pak můžu prostě odletět pryč od tělesa, které gravitační pole generuje a už se nikdy nevrátím. Na bláně má však potenciál pro velké vzdálenosti, které nás zajímají, tvar logaritmické funkce a pro ni tato podmínka neplatí. To znamená, že pro každou konečnou hodnotu existuje taková vzdálenost od středu blány, že potenciál zde už bude větší než tato konečná hodnota. To znamená, že ať dám kuličce na nekonečné prohnuté bláně jakoukoliv energii, vždy se dostane do bodu, v němž potenciál tuto energii převýší a kulička bude nucena se k centrálnímu tělesu vrátit. Takže na bláně žádná úniková rychlost pro kuličku neexistuje.
Gaussova věta

Nyní se můžeme přesunout k úvahám nad nějakými obecnějšími zákonitostmi gravitace a zamyslet se nad tím, zda existuje nějaký fyzikální model či zákon, který by se dal obecněji užít na newtonovskou gravitaci obecně. Protože pohyb nedává pro ilustraci ve směru svislém žádný smysl, celou simulaci můžeme považovat pouze za rovinnou. Můžeme se nyní zeptat konkrétněji. Existuje nějaký zákon popisující gravitaci, který se mění v závislosti na dimenzi? Odpověď zní ano! Jsme schopni takový zákon vytvořit. Jde o analogii Gaussovy věty, se kterou se můžeme setkat v souvislosti s elektrickým polem, pro pole gravitační.

Prvně jde o to, jak obecně o takových polích, resp vektorových polích přemýšlet abstraktněji. Vektorové pole se dá běžně chápat jako zobrazení, které každému bodu prostoru přidělí nějaký vektor. V tomto případě každému bodu v prostoru přiřadíme vektor intenzity gravitačního pole $\mathbf{\kappa} $. Intenzita gravitačního pole je definovatelná jako síla na jednotkovou hmotnost. Jednotka intenzity je tudíž $\, \mathrm{N/kg}$ a to je stejné jako $\, \mathrm{m\cdot s^{-2}}$. A proto $\mathbf{\kappa} $ můžeme také považovat za gravitační zrychlení v bodě.

Pokud si představíme takové gravitační pole okolo nějaké naší hmotné koule v prostoru, tak si lze představit, jak do něj směřují siločáry tohoto pole. Můžeme si představit to, že čím silnější pole je, tím více nahuštěné jsou k sobě siločáry. Právě jako hustotu siločar skrz malou jednotkovou plošku přímo namířenou na kouli si můžeme představit intenzitu gravitačního pole $\kappa $. Zdroj síly, tedy naši hmotnou kouli, si můžeme představit jako zdroj daného počtu siločar a tento počet stoupá s její hmotností. Pokud je siločar omezený počet daný zdrojem, pak pokud se vzdalujeme od koule, tak tato hustota klesá, protože siločáru jsou více rozptýleny do prostoru.

Počet siločar, který koule, vydává můžeme určit jako ${4\pi r^2 \kappa }$. Ten musí zůstat konstantní. Pokud se podívám na tuto situaci ve dvou různých vzdálenostech $r_0$ a $r$, kde jsou intenzity $\kappa _0$ a $\kappa $, pak platí

$$ 4\pi r^2 \kappa =4\pi r_0^2 \kappa _0\quad \Rightarrow \quad \kappa =\frac{r_0^2}{r^2}\kappa _0. $$

Jak je vidět, intenzita opravdu klesá s druhou mocninou vzdálenosti, stejně jako Newtonova gravitace. Aby tyto dva modely seděly absolutně, můžu počet siločar generovaných zdrojem vyjádřit jako

$$ \label{eq:3DGauss} -4\pi GM=4\pi r^2\kappa . $$

Můžete si všimnout, že jsem teď psal $\kappa $ pouze skalárně. Tím jsem myslel jeho velikost a směr $\mathbf{\kappa} $ je radiální a směřující ke zdroji.

Nyní tento zákon zkusím převést do roviny. Neboť právě na bláně se koule a kuličky vlastně pohybují na rovině.

V rovině by byly zdrojem gravitačního pole nějaké planimetrické útvary. Navíc bych těmto útvarům také musel určit nějakou hmotnost. Nechť zadefinuji na membráně rozměr útvaru jako hranice doteku reálného objektu s membránou. 2D hmotnost tohoto objektu na membráně zavedu stejně jako jeho opravdovou hmotnost. V rovině opět můžu totožně zavést veličiny jako je potenciál, síla a intenzita gravitačního pole. Jediný rozdíl je v tom, že nyní neuzavírám kruhově symetrické objekty koulí o poloměru $r$, ale kružnicí. Musím upravit rovnici 4 do tvaru odpovídajícího rovině. Teď se nebudu bavit o ploše koule, ale o délce kružnice, skrz kterou procházejí siločáry gravitačního pole. Délka kružnice je $2\pi r$, a proto pro velikost opět radiální intenzity gravitačního pole $\kappa $ platí

$$ -2\pi GM=2\pi r\kappa \quad \Rightarrow \quad \kappa =-\frac{GM}{r}. $$

Jak vidím, intenzita gravitačního pole odpovídá aproximaci síly na bláně v rovnici (3). Takto jsme se po úmorném boji dopracovali k tomu, že gravitace simulovaná na bláně se v aproximaci blíží popisu gravitace na 2D rovině. A to je velice pěkný závěr.


 Pro jistotu, aby nedošlo ke zmatení čtenáře, $f’(r)$ značí první derivaci $f(r)$ dle $r$

 Pro stručnost a né pro matení čtenáře nyní budu značit funkci pouze $f$ a její derivaci $f’$ a budu automaticky předpokládat, že obě závisí na $r$