Úloha 6.u1: Vesmírná krabice (4 b)

Zadáno v čísle 23.6.

Řešeno v čísle 23.8.

Zadání

Fonda sa nachází na souřadnicích $x_0$ ve své vesmírné lodi o tvaru kvádru a má počáteční rychlost $|v_0| = 1 \, \mathrm{m \cdot s^{-1}}$ vůči lodi. Fonda umí ovládat motory lodě, které poskytují maximální tah do každého směru. Jiným způsobem se však uvnitř lodi pohybovat neumí.

Jaká je minimální hmotnost paliva, kterou spotřebuje na pohyb lodi, aby se dostal na původní místo $x_0$ a zůstal tam v klidu stát? Od stěn se umí Fonda odrážet s dokonalou pružností, stěny jsou dokonale hladké a loď je prázdná. Počítejte pro raketový pohon se specifickým impulzem $I_{sp} = 450 \, \mathrm{s}$ a hmotnostním tokem $\dot{m}_ R = 200 \, \mathrm{kg \cdot s^{-1}}$ a iontový motor s $I_{sp} = 3000 \, \mathrm{s}$ a $\dot{m}_ I = 3 \cdot 10^{-5} \, \mathrm{kg \cdot s^{-1}}$. Loď má hmotnost $M = 100 \, \mathrm{t}$ a můžeme zanedbat změnu její hmotnosti. Jaký je maximální tah jednotlivých motorů?

Řešení

Ako prvé si vypočítame maximálny ťah $T$. To pomocou vzorcu

\[ T=I_{sp}g\dot{m}, \]

kde $g$ je tiažové zrýchlenie. Pre jednotlivé motory dostaneme hodnoty

\[ T_{R}=882900 \, \mathrm{N}, \]\[ T_{I}=0,88 \, \mathrm{N}. \]

Pre uvažovanie, ako dostať Fondu do pôvodnej polohy, by sa nám hodil čas, za ktorý loď zrýchli na $1 \, \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. To vypočítame pomocou

\[ t=\frac{M}{T} \cdot 1 \, \mathrm{m\cdot s^{-1}}. \]

Pre jednotlivé motory dostaneme

\[ t_{R} \approx 0,11 \, \mathrm{s}, \]\[ t_{I} \approx 113 636 \, \mathrm{s}\approx 1,32 \, \mathrm{dňa}. \]

Keby sme si ešte vypočítali, koľko paliva spotrebujeme pomocou vzorcu $m_{spo}=\dot{m}t$, dostaneme

\[ m_{R} \approx 22,7 \, \mathrm{kg}, \]\[ m_{I} \approx 3,4 \, \mathrm{kg}. \]

To potvrdzuje zadanie, že môžeme zanedbať zmenu hmotnosti. Na zastavenie Fondu na počiatočnom mieste musíme uvažovať, že jeho vesmírna kocka má konečné rozmery. Pri zrýchľovaní lodi sa bude Fonda pohybovať voči nej so zrýchlením $T/M$ v opačnom smere. Ak nastane to, že po odraze od nejakej steny ide trajektória cez začiatočnú polohu, stačí mu začať zrýchľovať vo vzdialenosti

\[ d=\frac{Mv_{0}^{2}}{2T}. \]

Pre raketový motor, z času je vidieť, že to túto situáciu vyrieši rýchlo. Pre iontový motor budeme musieť prve spomaľovať postupne. Po odraze od steny, zrýchľovať stále v smere pohybu a pred odrazom prestať zrýchľovať. Situáciu riešime v 3D, takže to môžeme postupne riešiť v jednotlivých súradniciach.

Kubo