Úloha 6.u4: Pečlivě schovaný trojúhelník (2 b)

Zadáno v čísle 23.6.

Řešeno v čísle 23.8.

Zadání

Délky tyčí (v metrech) ve hře kolmio nabývají hodnot z reálného intervalu $(1; 55)$. Dokažte, že hra může skončit vítězstvím některého z týmů pro libovolných deset tyčí s délkami z daného intervalu, tedy že z daných deseti tyčí je možné vybrat tři tak, že tvoří strany nějakého trojúhelníka.

Řešení

V této úloze se mnohým z vás stalo, že jste přišli na správnou myšlenku, ale neměli řešení správně dotažené do konce. Problém byl ten, že jste o řešení 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 prohlásili, že je „nejlepší“, respektive že to „lépe nejde“, a přesto je ve sporu se zadáním, a tím pádem lze vždy trojúhelník sestrojit.

Problémem je, že chybělo zdůvodnění, proč je toto řešení nejlepší, případně proč to pro jiná čísla nemůže fungovat (pokud nějakou úlohu řešíte sporem, nestačí, když najdete nějaké řešení a o něm prohlásíte, že už to lépe nejde, aniž byste to dokázali). Vezměte si proto z této úlohy ponaučení například do matematické olympiády.

Úlohu budeme řešit sporem. Připusťme, že existuje deset čísel z intervalu $(1; 55)$ takových, že z nich nelze vybrat tři, z nichž by šel sestavit trojúhelník. Tato čísla si označme a seřaďme: $1 < a_1 \leq a_2 \leq \dots {} \leq a_{10} < 55.$

Aby z trojice čísel nešel sestavit trojúhelník, tak nesmí splňovat trojúhelníkovou nerovnost (a protože je už máme seřazená, tak je třeba ověřit, že největší je větší než součet zbývajících dvou), tedy:

\begin{align*} a_3 & > a_2 + a_1 \\ a_4 & > a_3 + a_2 > 2 a_2 + a_1 \end{align*}

(po dosazení z první nerovnosti). Pokračujeme analogicky dál:

\begin{align*} a_5 & > a_4 + a_3 > 3 a_2 + 2 a_1\\ & \vdots \\ a_{10} & > a_9 + a_8 > 34 a_2 + 21 a_1 \end{align*}

A protože $a_1$ i $a_2$ jsou větší než 1, tak by $a_{10}$ muselo být větší než 55, což je ovšem spor s tím, že $a_{10}$ je menší než 55. Došli jsme tedy ke sporu, proto z deseti čísel lze vždy vybrat tři tak, aby z nich šel sestavit trojúhelník.

Petr