Úloha 5.u2: Pseudoatom (3 b)

Zadáno v čísle 23.5.

Řešeno v čísle 23.7.

Zadání

Mějme v blízkosti elektron a pozitron. Ty na krátký čas (přibližně 0,1$\, \textrm{ns}$) vytvoří pseudoatom. Obě částice mají shodnou hmotnost $m$ a opačný náboj $e$, resp. $-e$. Pohybují se po kruhové trajektorii okolo společného hmotného středu o poloměru $r$. Určete tento poloměr a vazebnou energii, t.j. energii nutnou pro oddálení částic do nekonečna. Řešte teoreticky pomocí Bohrova modelu atomu a číselně pro základní kvantový stav (tedy stav s nejnižší energií). Proč tento „atom“ není běžný při pozemských podmínkách?

Řešení

Aby mohly elektron a pozitron kolem sebe obíhat, musí se rovnat dostředivá síla

\[ F_ d = \frac{mv^2}{r} \]

a elektrostatická síla

\[ F_ e = \frac{1}{4 \pi \epsilon _0} \frac{e^2}{4r^2}, \]

kde $2r$ je vzdálenost částic. Také musí platit Bohrova kvantovací podmínka, která říká, že celkový moment hybnosti soustavy musí být celočíselný násobek redukované Planckovy konstanty. Matematicky ji můžeme zapsat rovnicí

\[ L = n \frac{h}{2 \pi }, \]

kde $L$ je moment hybnosti, $n$ je přirozené číslo a $h$ je Planckova konstanta. V našem případě je moment hybnosti $L = 2 m v r$ (nesmíme zapomenout započítat moment hybnosti obou částic). Vyjádřením $v$ a dosazením do rovnosti $F_ d=F_ e$ získáme vztah pro poloměr

\[ r_ n = \frac{\epsilon _0 h^2}{\pi m e^2} n^2. \]

Po dosazení dostaneme pro základní stav ($n=1$, jak později uvidíme)

\[ r_1 = 5,3\times 10^{-11} \, \mathrm{m} = 0,53 \, \mathrm{Å}. \]

Celková energie soustavy je součet kinetické energie obou částic a jejich vzájemné potenciální energie

\[ E = 2 \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{4 \pi \epsilon _0} \frac{e^2}{2r} = - \frac{1}{4 \pi \epsilon _0} \frac{e^2}{4r}, \]

což jsme získali dosazením $v$ vyjádřené z rovnosti $F_ d=F_ e$. Možné hodnoty energie získáme dosazením $r_ n$ za $r$:

\[ E_ n = - \frac{-m e^4}{16 \epsilon _0 h^2} \frac{1}{n^2}. \]

Nejnižší energii má stav s $n=1$:

\[ E_1 = -6,8 \, \mathrm{eV}. \]

Záporné znaménko značí, že jde o vázaný stav a musíme tedy dodat energii, abychom částice oddělili na nekonečnou vzdálenost, a měly tedy nulovou energii. Tato záporně vzatá energie se nazývá vazebná energie.

Systém, kdy kolem sebe obíhá elektron a pozitron, se nazývá pozitronium. V pozemských podmínkách však není příliš častý, protože částice a antičástice spolu rychle anihilují a vytvoří několik fotonů o celkové energii $2mc^2 = 1,022 \, \mathrm{MeV}$. Poločas rozpadu závisí na tom, jestli mají částice souhlasný či nesouhlasný spin, avšak dosahuje maximálně $140 \, \mathrm{ns}$.

Viktor