Úloha 4.u1: Termoska (3 b)

Zadáno v čísle 23.4.

Řešeno v čísle 23.6.

Zadání

Mějme termosku tvořenou uzavřenou vnitřní a vnější plechovou stěnou, mezi kterými je vakuum. Jediný významný mechanismus přenosu tepla zevnitř ven je tepelným zářením přes evakuovanou mezeru.

Termoska je naplněna horkou kapalinou, která postupně chladne. Chladla by pomaleji, pokud bychom za jinak stejných podmínek vložili doprostřed vakuové mezery další uzavřenou „slupku“ z tenkého plechu ze stejného materiálu jako stěny nádoby, která nebude mít tepelný kontakt ani s vnější, ani s vnitřní stěnou? Pokud ano, jak moc pomaleji? Co když takových navzájem se nedotýkajících slupek přidáme více?

Můžete předpokládat, že teplota vnější stěny termosky je prakticky stejná jako teplota okolí, a nebude tedy záviset na kvalitě izolace. Přidávané vrstvy jsou natolik tenké a jejich vlastní tepelná kapacita tak nízká, že během zanedbatelně krátké doby dosáhnou rovnovážné teploty, a stačí tedy uvažovat jen tento ustálený stav.

Řešení

Ačkoliv spočíst konkrétní množství tepla přenášené ven skrz stěnu termosky by bylo značně složité až nemožné, odpovědět na to, jakou relativní změnu způsobí přidání další stěny jde jednoduše jen na základě vcelku elementárních úvah a několika předpokladů.

Předně, každý povrch vyzařuje tepelné záření. Výkon vyzářený jednotkou plochy je závislý jen na teplotě a materiálu povrchu (dalo by se říci ,,zobecněné barvě“, která zahrnuje nejen viditelnou část, ale i zbytek spektra). Protože každá slupka termosky má vnitřní i vnější povrch ze stejného materiálu a oba povrchy jedné konkrétní slupky mají stejnou teplotu, bude také tepelný výkon vyzářený z každé jedné slupky směrem ven stejný jako výkon vyzářený směrem dovnitř.

Tepelné záření se přes vakuovou mezeru šíří bez jakékoliv interakce a dopadne na sousední stěnu. V tu chvíli se může buďto odrazit nebo pohltit.1 Pokud se odrazí, vrací se zpět ke stěně, ze které vyšlo. Na ní se opět buďto odrazí, nebo pohltí. Řada odrazů může pokračovat, ale nakonec musí každý foton skončit pohlcený buďto ve stěně ze které vyšel, nebo v sousední stěně. Část výkonu, která byla nakonec pohlcena původní stěnou, se nepodílí na přenosu tepla přes vakuovou mezeru, takže můžeme místo celkového vyzářeného výkonu z povrchu každé stěny uvažovat jen efektivní přenesený výkon, což bude vyzářený výkon vynásobený procentem, které se pohltilo na sousední stěně.

Poměr odraženého a pohlceného záření závisí na vlnové délce dopadajícího záření, úhlu dopadu a materiálu odrážejícího povrchu. Jde opět o komplikovanou neznámou závislost, ale nám bude stačit, že pro každou mezislupku je efektivní výkon přenesený z ní na sousední slupku směrem dovnitř stejný jako efektivní výkon přenesený směrem ven. V obou směrech je totiž vyzářeno záření stejného výkonu se stejným rozdělením vlnových délek (oba povrchy jedné slupky mají stejnou teplotu a materiál), z kterého se následně stejné procento pohltí na příslušné sousední stěně (protože oba povrchy jsou opět ze stejného materiálu).2 Můžeme tedy konstatovat, že pro každou slupku je efektivní přenesený výkon z ní na sousední slupku směrem ven i směrem dovnitř stejný.

Poslední skutečnost, kterou si musíme uvědomit, je, že každá stěna termosky je v tepelné rovnováze. Tepelný výkon, který ji opouští, musí být shodný jako výkon touto stěnou absorbovaný. Ve schematickém znázornění na Obrázku 1 to znamená rovnost

\begin{equation} \label{balance} 2P_ i=P_{i-1}+P_{i+1} \end{equation}

pro každé $i$ od 1 do $n-1$.

Obrázek 1: Přenos tepla mezi vrstvami tvořícími termosku. Levá stěna o teplotě $T_0$ tvoří vnitřek termosky, vnější stěna je vpravo a má teplotu $T_ n$. Termoska obsahuje $n-1$ vnitřních slupek.

Je dobré si všimnout, že jsme nikde nepotřebovali vědět, jaká je závislost mezi efektivním přenášeným výkonem a teplotou stěny. Tato závislost totiž není nijak jednoduchá a závisí na mnoha parametrech, které v zadání nejsou zmíněny. Někteří z vás použili v řešení Stefan-Boltzmannův zákon v podobě

\begin{equation*} P=\varepsilon \sigma ST^4\, , \end{equation*}

kde $\varepsilon $ je emisivita povrchu (pro $\varepsilon =1$ popisuje rovnice dokonale černé těleso). Tato rovnice má jedno velké ,,ale“. Emisivita jakéhokoliv reálného materiálu totiž není prostá konstanta, ale veličina obecně závislá na vlnové délce záření. Protože spektrum tepelného záření je závislé na teplotě povrchu (Planckův zákon, výše uvedený Stefan-Boltzmannův zákon je jen zintegrováním Planckova vztahu podle vlnové délky), bude i $\varepsilon $ v rovnici výše obecnou a složitou funkcí teploty, navíc specifickou pro každý materiál. Protože je řešení této úlohy nezávislé na tom, jak konkrétně vypadá pro stěny termosky závislost vyzařování na teplotě, vyjde výsledek i tak ,,správně“. Myšlená termoska s dokonale šedými stěnami s konstantní emisivitou se bude při přidávání mezivrstev chovat stejně jako termoska z jakéhokoliv jiného materiálu. Nicméně je dobré být si vědom tohoto významného omezení platnosti Stefan-Boltzmannova zákona pro reálné povrchy.

Vraťme se ale k rovnici 1. Převedeme $P_ i$ a $P_{i+1}$ na druhou stranu rovnítka, což ukáže, že celkový tepelný výkon přenesený přes každou mezeru mezi dvojicí slupek je stejný:

\begin{equation} \label{Q} P_0-P_1 = P_{i-1}-P_{i} = P_{i}-P_{i+1} = P_{n-1} - P_{n} = Q\, . \end{equation}

Tento výkon, $Q$, jsou tepelné ztráty termosky, tedy teplo, které opouští obsah a utíká ven. Jednoduchou úpravou rovnice 2 získáme

\begin{equation} \label{Q-eq2} P_{i} = P_{i+1} + Q\, . \end{equation}

Protože $Q$ je rovno rozdílu libovolné dvojice sousedních $P_ i$, platí také $P_{i+1} =$ $= P_{i+2} + Q$ a dosazením do 3 získáme

\begin{equation} \label{Q-eq4} P_{i} = P_{i+2} + 2Q\, . \end{equation}

Je zjevné, že tuto úpravu můžeme libovolněkrát analogicky opakovat a získaný výsledek zapsat pro obecné $k$ jako

\begin{equation} \label{Q-gen} P_{i} = P_{i+k} + k\cdot Q\, . \end{equation}

Efektivní tepelný výkon $P_0$ opouštějící vnitřní stěnu a výkon $P_ n$ odcházející z vnější stěny dovnitř budou vždy stejné nezávisle na počtu mezistěn, protože jsou určeny jen (neměnnou) teplotou vnitřní, respektive vnější stěny. Pokud rovnici 5 vyjádříme právě pro tyto dva tepelné výkony, dostaneme:

\begin{equation} \label{vysl} P_0 = P_ n + n\cdot Q\quad \Rightarrow \quad Q=\frac{P_0-P_ n}{n}\, . \end{equation}

Pro základní termosku bez mezislupek ($n=1$) jsou tepelné ztráty, označme je $Q_0$, rovny rozdílu $P_0-P_1$. Pokud přidáme $s$ slupek ($n=s+1$), budou ztráty $Q_ s$ dány vztahem

\begin{equation} \label{ztraty} Q_ s = \frac{Q_0}{s+1}\, . \end{equation}

Doba chladnutí obsahu je nepřímo úměrná tepelným ztrátám, takže při $s$ slupkách bude pro dobu $t_ s$ v porovnání s časem $t_0$, který by stejné chladnutí trvalo u základní termosky, platit

\begin{equation} \label{doba} t_ s = (s+1)\cdot t_0\, . \end{equation}

Přidání jedné mezivrstvy prodlouží dobu, po kterou zůstane káva v termosce teplá na dvojnásobek, dvě mezivrstvy nám poskytnou oproti základní termosce trojnásobný čas na vychutnání si teplého obsahu atd.

A funguje to opravdu…?

Řešení úlohy naznačuje, že tu máme zajímavý způsob jak, alespoň pro prvních několik mezislupek, podstatně vylepšit izolační schopnosti termosky. Takže plán je jasný, vyrobíme supertermosku, začneme ji prodávat a zbohatneme… nebo ne? Funguje to tedy?

Řešení výše skutečně popisuje, jak se sníží tepelné ztráty zářením. Jenže aby to stačilo ke zpomalení chladnutí obsahu, musíme předpokládat (jak bylo postulováno v zadání), že záření je hlavní mechanismus přenosu tepla. To ale často není pravda.

Běžné kovové materiály samy o sobě hodně dobře odráží a málo vyzařují infračervené záření, které je v našem případě hlavním nositelem tepla. Takže i základní dvouvrstvá termoska je z hlediska ztrát zářením ,,poměrně dobrá“. Pokud budeme tyto ztráty dále snižovat, tak dříve či později (spíše dříve) převáží jiné mechanismy3, které přidáváním stěn nijak neomezujeme (naopak je v praktické situaci, kdy musíme mezislupky nějak upevnit, pravděpodobně ještě zvýšíme), a v součtu už si nijak nepolepšíme. Nemluvě o tom, že vyrobit vícevrstvou termosku bude výrazně složitější a dražší.

Na druhou stranu, pokud jsou ambice tepelné izolace trochu větší, než hrníček teplé kávy, může se situace změnit. Například pro uchovávání a vedení kapalného hélia nebo jiných podobných extrémně chladných kapalin se vrstvená izolace skutečně používá.4 Má i svůj anglický název a zkratku: MLI – multilayer insulation, a můžeme ji v různých podobách najít jak v pozemních, tak kosmických aplikacích.

Do jisté míry lze za související příklad považovat třeba i sluneční clonu Webbova teleskopu5, ačkoliv tam hodně pomáhá skutečnost, že dalekohled nemusí být izolací ,,obalen“ a odražené tepelné záření může mimo pohlcení jednou ze dvou stěn také uniknout z okraje clony pryč do volného prostoru, což pochopitelně dále vylepšuje tepelnou bilanci.

Marble


1) Můžeme oprávněně očekávat, že kovová slupka je neprůhledná a žádná část dopadajícího záření neprojde skrz.

2) To není úplně pravda, při detailním zkoumání můžeme narazit přinejmenším na dva vlivy rozbíjející zmíněnou symetrii. Za prvé termoska s uzavřeným vnitřním objemem musí mít nutně zakřivené stěny a vnější vydutá stěna bude hůře odrážet, protože malá část odraženého záření dopadne kvůli zakřivení zpět na tu samou stěnu. Za druhé je odrazivost kovových povrchů mírně závislá na teplotě. Vnitřní stěna, která je o něco teplejší, bude hůře odrážet dopadající záření. Oba efekty jsou ale velmi slabé a jejich zanedbání výsledek neovlivní o nic víc než jiná použitá zjednodušení.

3) Vedení kolem hrdla termosky, přenos prouděním (zbytkového) vzduchu mezi stěnami, výměna vzduchu uvnitř při nalévání části obsahu do hrníčku atd.

4) Ilustrace jednoho takového využití je k vidění třeba v článku Wrapped multilayer insulation design and testing, S. A. Dye a kol. (2014), Cryogenics, 64 (http://www.questthermal.com/sites/default/files/files/Wrapped%20MLI%20Cryogenics%20Final%20article.pdf)

5) https://www.jwst.nasa.gov/sunshield.html