Úloha 4.u3: Lezoucí brouci (3 b)

Zadáno v čísle 23.4.

Řešeno v čísle 23.6.

Zadání

Mějme rovnostranný trojúhelník s délkou strany 1. Na každém z jeho vrcholů stojí brouk, na vrcholu $A$ stojí brouk $B_ A$, na vrcholu $B$ brouk $B_ B$ a na vrcholu $C$ brouk $B_ C$. Brouk $B_ A$ leze tak, že neustále míří za broukem $B_ B$, stejným způsobem leze brouk $B_ B$ za broukem $B_ C$ a brouk $B_ C$ za broukem $B_ A$.

Všichni brouci lezou jednotkovou rychlostí. Jak dlouho bude trvat, než se všichni brouci potkají?

Řešení

Obrázek 1: Rozložení směrového vektoru brouka $B_ B$ na složky.

Úlohu budeme řešit tak, že si spočítáme okamžitou rychlost, kterou se dva brouci přibližují. Brouk $B_ A$ leze za broukem $B_ B$, což do okamžité rychlosti, kterou se přibližují, přispěje $1$. Současně se ale brouk $B_ B$ pohybuje rychlostí $1$ za broukem $B_ C$. Zde je potřeba si uvědomit, že celá situace byla na začátku symetrická a symetrickou tedy i zůstane – v každé chvíli tedy budou brouci tvořit rovnostranný trojúhelník. Nyní rozložíme pohyb brouka $B_ B$ do dvou složek. Rychlost brouka $B_ B$ si rozložíme na pohyb směrem k broukovi $B_ A$ a pohyb k tomuto pohybu kolmý. Můžeme si uvědomit, že tento kolmý pohyb nijak neovlivní okamžitou rychlost přibližování se brouků $B_ A$$B_ B$. To můžeme nahlédnout následovně – uvažme dva body, z nichž jeden stojí na místě a ten druhý se hýbe tak, že je nenulová pouze složka kolmá k přímce definované těmito dvěma body. V takovém případě není těžké nahlédnout, že to odpovídá pohybu po kružnici, kdy se rozhodně vzdálenost těchto dvou bodů nemění, a okamžitá rychlost přibližování se těchto dvou bodů je tedy nulová. Nás bude zajímat pouze složka vedoucí za broukem $B_ A$.

K rozložení pohybu na složky nám bude stačit použít sinus a cosinus. My chceme znát délku hrany $c’$ (viz Obrázek 1). Ta se rovná $\cos 60^\circ = 1/2$.

Tento argument můžeme opakovat pro všechny tři dvojice brouků. Tím zjistíme, že se všichni brouci navzájem přibližují rychlostí $1+1/2 = 3/2$ a celkově jim tedy bude trvat se potkat $2/3$ časové jednotky.

Kuba