Úloha 3.u4: Sumy a čtverce (5 b)

Zadáno v čísle 23.3.

Řešeno v čísle 23.5.

Zadání

  1. Součet čtyř reálných čísel je 8 a součet jejich druhých mocnin je 16. Jaká je největší možná hodnota největšího čísla? Tedy pro reálná $a, b, c, d$ platí: $a+b+c+d=8$ a $a^2+b^2+c^2+d^2=16$. Najdi největší možnou hodnotu čísla $a$.

  2. Součet pěti reálných čísel je 8 a součet jejich druhých mocnin je 16. Jaká je tentokrát největší možná hodnota největšího čísla?

 

Řešení

Jak už to v úlohách tohoto typu bývá, (jednodušší) půlkou řešení je uhodnout správný výsledek. Konkrétně v první podúloze není těžké najít jednu vyhovující čtveřici $a=b=c=d=2$. Dokonce platí, že je to jediné řešení této soustavy rovnic. V druhé podúloze si můžeme tipnout, že v případě, kdy maximalizujeme proměnnou $a$, budou všechny ostatní proměnné nabývat stejné hodnoty, tedy $b=c=d=e$. Za tohoto předpokladu snadno dopočítáme dvě možná řešení rovnic – první z nich, $a=0$, $b=c=d=e=2$, odpovídá předchozí podúloze. Druhé z nich, $a=3,2$, $b=c=d=e=1,2$, je skutečně hledaným extrémním případem. Teď už jen zbývá předchozí tvrzení dokázat.

Trikové vzorové řešení

  1. Uvažme kvadratický výraz $(a-2)^2+(b-2)^2+(c-2)^2+(d-2)^2$, který můžeme upravovat s pomocí rovnic ze zadání:

    \begin{align*} (a-2)^2+(b-2)^2+(c-2)^2+(d-2)^2 & =\\ a^2+b^2+c^2+d^2-4\cdot (a+b+c+d)+4\cdot 2^2 & =\\ 16-32+16 & = 0 \end{align*}

    Výraz je součtem čtverců, takže aby byl rovný nule, musí být rovny nule všechny výrazy uvnitř závorek. Tedy pro naše proměnné musí platit $a=b=c=d=2$. Tato čtveřice rovnicím vskutku vyhovuje.

  2. Uvažme kvadratický výraz $(a-1,2)^2+(b-1,2)^2+(c-1,2)^2+(d-1,2)^2+(e-1,2)^2$, který můžeme upravovat s pomocí rovnic ze zadání:

    \begin{align*} (a-1,2)^2+(b-1,2)^2+(c-1,2)^2+(d-1,2)^2+(e-1,2)^2 & =\\ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-2,4\cdot (a+b+c+d+e)+5\cdot 1,2^2 & =\\ 16-19,2+7,2 & =4 \end{align*}

    Tedy musí platit $(a-1,2)^2 \leq 4$, z toho plyne $a \leq 3,2$, a všechny proměnné tak musí být menší či rovny číslu $3,2$. Na druhou stranu řešení $a=3,2$, $b=c=d=e=1,2$ obě rovnice vskutku splňuje.

Jak na něco takového přijít? Rovnice ze zadání nám umožňují vyhodnotit jednoduché symetrické kvadratické výrazy. V obou podúlohách jsme tedy zkonstruovali výraz, jehož hodnotu známe. Zároveň jsme ale členy tohoto výrazu zvolili tak, aby se jejich hodnota dala snadno odhadnout (druhé mocniny jsou nezáporné). Navíc v našem odhadu dojde k rovnosti, pokud za proměnné dosadíme naše uhodnuté řešení (o kterém doufáme, že je hledaným extrémním řešením). Když jsme tedy v druhé podúloze výrazy $(b-1,2)^2, \dots , (e-1,2)^2$ odhadli nulou, pro naše uhodnuté řešení tyto výrazy byly rovny nule. Proto i výsledný odhad na proměnnou $a$ odpovídal našemu uhodnutému řešení.

Řešení využívající Cauchy-Schwarzovu nerovnost (podle Tomáše Domese a Filipa Čermáka)

K řešení šla také použít Cauchy-Schwarzova (CS) nerovnost použitá na všechny proměnné ze zadání kromě $a$ (opět zde využíváme myšlenky, že v extrémním případě budou tyto proměnné nabývat stejné hodnoty a v CS nerovnosti tak dojde k rovnosti). Ukážeme pouze řešení druhé podúlohy (ta první by se vyřešila analogicky). První podúloha šla také řešit přímým použitím CS nerovnosti pro všechny proměnné.

Z Cauchy-Schwarzovy nerovnosti plyne:

\[ (b^2+c^2+d^2+e^2)\cdot \left(\frac14+\frac14+\frac14+\frac14\right) \geq \left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}+\frac{d}{2}+\frac{e}{2}\right)^2 \]

Po úpravě a dosazení $b^2+c^2+d^2+e^2=16-a^2$ a $b+c+d+e=8-a$ dostáváme

\[ 16-a^2 \geq \left(\frac{8-a}{2}\right)^2, \]

tedy

\[ 5a^2-16a \leq 0. \]

Z této nerovnice již vyplývá $a \leq 3,2$, zbytek je stejný jako ve vzorovém řešení.

Vašek