Úloha 2.u3: Zapeklitý trojúhelník (3 b)

Zadáno v čísle 23.2.

Řešeno v čísle 23.4.

Zadání

Mějme rovnoramenný trojúhelník $ABC$. Nechť $M$ je střed jeho základny $AB$ a $N$ je bod osově souměrný s $M$ podle přímky $BC$. Rovnoběžka s $AB$ procházející bodem $N$ protíná přímku $AC$ v bodě $K$. Určete velikost úhlu $AKB$.

Řešení

Označme $L$ průsečík přímek $BC$ a $NK$ (viz Obrázek 1). Protože je trojúhelník $ABC$ rovnoramenný se základnou $AB$ a $LK$ je rovnoběžná s $AB$, tak bod $L$ je osově souměrný s bodem $K$ dle osy $MC$, a tím pádem $|\angle AKB|=|\angle ALB|$. Stačí tedy určit velikost úhlu $\angle ALB$.

Obrázek 1: Trojúhelník z úlohy 2.3

Označme $S$ průsečík $MN$ a $BC$. Potom z rovnoběžnosti $NL$ a $BM$ a osové souměrnosti bodů $M$ a $N$ dle $BL$ platí, že trojúhelníky $BMS$ a $LNS$ jsou shodné dle věty usu. Z toho vyplývá, že $|BS|=|SL|$. Tedy úhlopříčky $BL$ a $MN$ se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé, takže $MBNL$ je kosočtverec. Tedy $|AM|=|MB|=|ML|$. Bod $L$ proto leží na Thaletově kružnici nad $AB$, proto je velikost $\angle ALB$ (a tím i $AKB$) roven $90^\circ $.

Je dobré posílat k řešení geometrických úloh i obrázek. Mnoho z vás to tentokrát neudělalo a občas na to i doplatilo. Obrázek pomáhá opravovateli pochopit vaše řešení a občas mu i napoví, že jste se jen přepsali. A zvláště důležitý je ve chvíli, kdy si pojmenujete nějaký bod neobvykle, či v rozporu se všeobecnými zvyklostmi, případně dokonce v rozporu se zadáním. Dobrým nástrojem je třeba program GeoGebra1 (dostupný i v online verzi bez instalace), který umožňuje rýsování na PC a mnoho dalšího. Z něj se dá poté jednoduše vyexportovat PNG soubor, který můžete vložit do řešení.

Petr


1) http://www.geogebra.org