Úloha 2.u1: Prásk (4 b)

Zadáno v čísle 23.2.

Řešeno v čísle 23.4.

Zadání

Spočítejte, za jak dlouho se zavřou obdélníkové dveře výšky $h$ o hmotnosti $m$, pokud jsou otevřeny o úhel $\alpha $, tlak na jedné straně dveří je $p_1$ a na druhé $p_2$. Neuvažujte velké proudění vzduchu.

Řešení

Na dveře z obou stran působí tlaková síla. Nechť tlak v místnosti, do které jsou dveře otevřeny, je $p_1$ a tlak v druhé místnosti je $p_2$. Potom se dveře zavřou, pokud $p_1>p_2$. Označme si rozdíl tlaků $p_1-p_2=\Delta p$ a šířku dveří $s$.

Z mechaniky hmotného bodu známe vztahy pro dráhu rovnoměrně zrychleného tělesa

\[ x = \frac{1}{2} a t^2 \]

a sílu

\[ F = m a. \]

Při rotaci platí obdobné zákony, jen musíme počítat s jinými veličinami. Dráhu nahradí úhel $\alpha $, zrychlení bude úhlové zrychlení $\epsilon $, místo síly použijeme moment síly $M$ a hmotností bude v tomto případě moment setrvačnosti $J$.

V každém bodě dveří působí na plošku $\delta S$ síla

\[ \delta F = \Delta p\, \cdot \delta S. \]

Síla $F$ působí kolmo na dveře. Moment síly, který působí na plošce $\delta S$, je

\[ \delta M = \delta F \cdot r, \]

kde $r$ je vzdálenost od zárubně. Tento moment síly není na celé ploše dveří konstantní, roste lineárně s $r$. Abychom získali celkový moment síly $M$, musíme si uvědomit, že průměrný moment síly je $\delta F \cdot s/2$ a působí uprostřed dveří. O kolik je tento moment větší ve větší vzdálenosti $r$, o tolik je menší v menší vzdálenosti $r$. Celkový moment síly tedy je

\[ M = F\cdot \frac{s}{2} = \Delta p\mkern 1muh s\cdot \frac{s}{2} = \frac{1}{2} \Delta p\mkern 1muh s^2, \]

kde $F = \Delta p \cdot S = \Delta p \cdot hs$ je celková síla působící na dveře. Stejný výsledek získáme integrací momentu síly podle $r$ od nuly do $s$.

Moment setrvačnosti dveří je stejný jako moment setrvačnosti tyče délky $s$ a hmotnosti $m$ otáčející se kolem osy procházející jejím koncem. Můžeme najít, že tento moment setrvačnosti je

\[ J = \frac{1}{3} m s^2. \]

Nyní již stačí dosadit do rovnice pro moment síly

\begin{align*} M & = J \epsilon \cr \frac{1}{2} \Delta p\mkern 1muh s^2 & = \frac{1}{3} m s^2 \epsilon \cr \end{align*}

a vyjádřit úhlové zrychlení

\[ \epsilon = \frac{3}{2} \frac{\Delta p h}{m}. \]

Čas, za který se dveře zavřou, spočítáme ze vztahu

\[ t = \sqrt {\frac{2 \alpha }{\epsilon }} = \sqrt {\frac{4 \alpha m}{3 \Delta p\mkern 1muh}}. \]

Viktor