Úloha 3.u3: Vážení (3 b)

Zadáno v čísle 23.3.

Řešeno v čísle 23.5.

Zadání

Popište, co bude ukazovat displej digitální tenzometrické váhy, když se na ni postaví mužík s těžkým kulovým závažím v rukou a zdvihne jej pomalu nad hlavu. Co budeme pozorovat, když závaží upustí a během pádu znovu chytí u kolen?

Chybějící parametry a jejich vliv na průběh děje odhadněte na základě skutečného světa, případně si pomozte experimentem. Můžete také popsat možný rozsah očekávaných výsledků pozorování. Nezapomeňte vaše úvahy náležitě zdůvodnit a závěry vysvětlit.

Řešení

Tenzometrické váhy vnímajú silu, ktorá je na nich vyvíjaná. Preto hmotnosť $M$, ktorú uvidíme je daná vzťahom:

\[ M = {F\over g} = {mg\over g} , \]

kde $g$ je tiažové zrýchlenie a $m$ hmotnosť objektu na váhe. Zo zákonu akcie a reakcie dostaneme, že ak niečo urýchlime proti smeru $g$, narastie hmotnosť $M$ na váhe. Z toho dostaneme vzťah, z ktorého budeme vychádzať:

\[ M = {m _\mathrm {č}(g-a _\mathrm {č})\over g} + {m _\mathrm {z}(g-a _\mathrm {z})\over g} , \]

kde $m _\mathrm {č}$ a $a _\mathrm {č}$ je hmotnosť človeka a jeho zrýchlenie a $m _\mathrm {z}$ a $a _\mathrm {z}$ hmotnosť a zrýchlenie závažia.

Z tohto vzťahu jednoducho odvodíme, čo sa bude diať, keď zdvihneme závažie nad hlavu. Pri začiatku zdvíhania urýchlime závažie a váha ukáže zvýšenú hmotnosť $M$ počas urýchľovania. Následne nastane rovnomerný pohyb, kde zrýchlenie bude nulové tak uvidíme počiatočnú hmotnosť $M=m _\mathrm {č}+m _\mathrm {z}$. Nakoniec, keď budeme zastavovať závažie nad hlavou, hmotnosť $M$ klesne počas zastavovania. Na zmene $M$ bude mať podiel aj človek, keďže bude urýchľovať a spomaľovať minimálne svoje ruky.

Pri pustení závažia váha ukáže iba hmotnosť $m _\mathrm {č}$. Človek, aby chytil niečo u kolien sa musí pripraviť, preto urýchli a následne spomalí niektoré časti svojho teľa. Z toho môžeme vidieť kolísanie ukázanej hmotnosti na váhe do vyššej aj nižšej hodnoty od $m _\mathrm {č}$.

Pri chytení a brzdení závažia uvidíme zväčšenie hmotnosti podľa veľkosti brzdenia. Čím bude spomalenie väčšie uvidíme vyšší a užší vrchol v grafe $M(t)$. Hodnota $M$ sa nakoniec ustáli na $m _\mathrm {č}+m _\mathrm {z}$. Ako v minulých odstavcoch bude človek prispievať k tomuto javu.

singlelinecheck=off
Obrázek 1: Znázornení graf ukazuje predpokladanú závislosť $M(t)$. Tento graf je iba ilustračný, kde výkyvy od stálej hmotnosti budú mať tvar podľa priebehu zrychlení človeka a závažia, ktoré na nich pôsobia, zavislích od času.
to .8emA – Zrýchlenie závažia pri pohybe nad hlavu
to .8emB – Zastavenie závažia nad hlavou
to .8emC – Upustenie závažia
to .8emD – Príprava človeka na chytenie závažia pri kolenách
to .8emE – Zastavovanie závažia

Pre overenie teórie sa postavím na váhu a vidím približne 85$\, \textrm{kg}$, do rúk si zoberiem závažie s hmotnosťou približne 5$\, \textrm{kg}$ a vidím výslednú hmotnosť 90$\, \textrm{kg}$. Viackrát zopakujem pohyb zavažím od hrude nad hlavu kolmo nahor. Vidím výchylky v rozsahu pár kilogramoch podľa prudkosti pohybu. Najprv do väčších hodnôt pri začiatku pohybu a potom do nižších hodnôt a následne ustálenie na 90$\, \textrm{kg}$. Výchylky do vyšších hodnôt sú výraznejšie, podľa mna spôsobené aj mojou nedokonalosťou a prispievaním zrýchlením častí môjho tela. Iba pri pomalom pohybe závažia sa mi podarilo vidieť 90$\, \textrm{kg}$ na váhe medzi zrychlením a spomalením. Následne závažie dám trochu predomňa ale stále vo výške hlavy a pustím ho. Vidím takmer okamžite hmotnosť 85$\, \textrm{kg}$ a pripravujem sa na chytenie pri kolenách. Na váhe vidím pokles aj o niekoľko kilogramov. Musím sa zohnúť a dostať ruky z polohy nad hlavou ku kolenám pred zavažím. Tesne pred chytením už vidím narastať hmotnosť ako sa pripravujem a brzdím svoje telo a ruky v pohybe dole. Po chytení vidím hodnoty až nad 110$\, \textrm{kg}$ pri rýchlom chytení. Pri pomalom chytení vidím hmotnosť okolo 100$\, \textrm{kg}$, ale spolu so zavažím sa pohybujem smerom dolu až do jeho zastavenia. Pri každom pokuse sa mi určite nepodarilo udržať konštantné zrýchlenie alebo spomalenie závažia. Experiment potvrdil naše teoretické predpovede.

Kubo