Úloha 6.u2: Nerovná podlaha (4 b)

Zadáno v čísle 23.6.

Řešeno v čísle 23.8.

Zadání

V mezigalaktické krabici je po srážce nerovná podlaha. Pro vyplnění formuláře na ni potřebují Fonda s pilotem postavit čtvercový stůl. Ale když chtějí stůl na podlahu položit, tak mu většinou jedna noha visí ve vzduchu a stůl se kýve, což značně znesnadňuje vyplnění formuláře. Dokážete na zvlněné podlaze vždy najít místo, ve kterém se všechny čtyři nohy stolu dotýkají podlahy?

Předpokládáme, že nám nevadí, že stůl není vodorovně, že podlaha je dost velká na to, aby se po ní dalo stolem pohodlně otáčet, a navíc v ní nejsou díry. Formálně chceme najít čtyři body tvořící daný čtverec, které leží v jedné rovině.

Řešení

Všimneme si, že vždy dokážeme naklonit stůl tak, aby měl na podlaze alespoň tři nohy (krajní poloha kývání stolu).

Předpokládejme tedy, že nám stůl na podlaze stojí třemi nohami (označme je $A$, $B$ a $C$), noha $D$ visí ve vzduchu. Otočíme-li nyní stůl o čtvrt kruhu, dojdeme do stavu, kdy stůl stojí na nohách $D$, $A$ a $B$; ve vzduchu je nyní noha $C$. Otáčet budeme tak, aby stůl stál na podlaze vždy alespoň třemi nohami, dvě z nich budou nohy $A$ a $B$.

V průběhu tohoto otáčení se musíme dostat do stavu, kdy se noha $C$ odlepí od podlahy. Předtím se ale noha $D$ musí dotknout země (aby stůl stále stál na alespoň třech nohách). V té chvíli tedy stůl stojí na všech čtyřech nohách a je stabilní.

Jiná možnost řešení je všimnout si, že pokud při otáčení budeme držet nohy $A$, $B$ a $C$ na zemi, bude se po otočení o $90^\circ $ konec nohy $D$ nacházet pod úrovní podlahy. Protože ale v podlaze nejsou díry, musela se tato noha v některém okamžiku otáčení na podlahu postavit.

Takto jsme na této zvlněné podlaze našli čtverec, což požadovalo zadání. Jak si někteří účastníci všimli, může však nastat situace, že na této podlaze bude „schod“ nebo „převis“, kvůli kterému nebude možné stůl postavit. Tento případ nebylo nutné ošetřit k získání 4 bodů.

Pavel