Seriál s: Zákony zachování (5 b)

Zadáno v čísle 22.6.

Řešeno v čísle 22.8.

Zadání

V minulém díle jsme se zabývali spinem. Za úkol jste měli vyřešit složení dvou spinů 1. Rozděleno do podúkolů:

  • Najdi vlastní čísla a vlastní vektory operátorů ($s_ z$). (1b)

  • Napiš posunovací operátory pro spin 1. (1b)

  • Najdi bázi vektorového prostoru, pro kterou budou mít matice operátoru kvazidiagonální tvar a popiš, co je výsledkem. (1,5b)

  • Ukaž, že matice alespoň dvou operátorů jsou v této bázi skutečně kvazidiagonální. (1,5b)

Řešení:

V minulém díle jsme prozradili podobu operátorů průmětu spinu pro spin 1:

\[ \hat S_ x=\frac{\hbar }{\sqrt 2}\! \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\! \, ,\quad \hat S_ y=\frac{\hbar }{\sqrt 2}\! \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}\! \, , \hat S_ z=\hbar \! \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\! \]

Nejprve vlastní čísla operátoru $\hat S_ z$:

\[ \hbar \! \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\! \! \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\! = s_ n\! \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\! \Rightarrow \! \begin{pmatrix} \hbar -s_ n & 0 & 0 \\ 0 & -s_ n & 0 \\ 0 & 0 & -\hbar -s_ n \end{pmatrix}\! \! \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\! =0 \]

Sestavíme sekulární rovnici problému.

\[ \mathrm{det}\! \begin{pmatrix} \hbar -s_ n & 0 & 0 \\ 0 & -s_ n & 0 \\ 0 & 0 & -\hbar -s_ n \end{pmatrix}\! =s_ n(\hbar ^2-s_ n^2)=0 \]

Vidíme, že její řešení jsou $s_ n\in \{ -\hbar ,0,\hbar \} $. Teď dosadíme za $s_ n$ do sekulární rovnice a najdeme vlastní vektory.

\begin{align*} \! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \hbar & 0 \\ 0 & 0 & -2\hbar -s_ n \end{pmatrix}\! \! \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\! & = \! \begin{pmatrix} 0 \\ \hbar v \\ -2\hbar w \end{pmatrix}\! & \Rightarrow \hat s_1& = \! \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\! \Rightarrow \uparrow \\ \! \begin{pmatrix} \hbar & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\hbar \end{pmatrix}\! \! \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\! & = \! \begin{pmatrix} \hbar u \\ 0 \\ -\hbar w \end{pmatrix}\! & \Rightarrow \hat s_0& = \! \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\! \Rightarrow \rightarrow \\ \! \begin{pmatrix} 2\hbar & 0 & 0 \\ 0 & -\hbar & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\! \! \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\! & = \! \begin{pmatrix} 2\hbar u \\ -\hbar v \\ 0 \end{pmatrix}\! & \Rightarrow \hat s_{-1}& = \! \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\! \Rightarrow \downarrow \end{align*}

Výsledné bázové vektory prostoru spinových stavů jsme si označili šipkami, jako pro spin $1/2$. Prostřední průmět spinu jsme označili vodorovnou šipkou, aby se při aplikaci posunovacích operátorů nepletl s nulou, která značí neexistující stav. Napíšeme si posunovací operátory.

\begin{align*} \sigma _+& =\frac{\hbar }{\sqrt 2}\! \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\! +i\frac{\hbar }{\sqrt 2}\! \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}\! =\frac{2\hbar }{\sqrt 2}\! \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\! \\ \sigma _-& =\frac{\hbar }{\sqrt 2}\! \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\! -i\frac{\hbar }{\sqrt 2}\! \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}\! =\frac{2\hbar }{\sqrt 2}\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\! \end{align*}

Planckovu konstantu budeme v řešení vynechávat. Dál ověříme, že posunovací operátory dělají, co mají.

\begin{align*} \sigma _+\! \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\! =0\, ,& \quad \sigma _+\! \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\! =\! \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\! \, ,\quad \sigma _+\! \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\! =\! \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\! \end{align*}\begin{align*} \sigma _-\! \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\! =\! \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\! \, ,& \quad \sigma _-\! \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\! =\! \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\! \, ,\quad \sigma _-\! \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\! =0\\ \end{align*}

Pomocí posunovacích operátorů už můžeme sestavit novou bázi prostoru spinových stavů dvou částic se spinem 1. Začneme nejvyšším spinovým stavem $|\! \uparrow \uparrow \rangle $.

\begin{align*} \sigma _-|\! \uparrow \uparrow \rangle & = \sigma _-^1\hat{1^2}|\! \uparrow \uparrow \rangle +\hat{1^1}\sigma _-^2|\! \uparrow \uparrow \rangle =\\ & =|\! \rightarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ \sigma _-\left(|\! \rightarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \rightarrow \rangle \right)& = |\! \downarrow \uparrow \rangle +|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle =\\ & =|\! \downarrow \uparrow \rangle +2|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ \sigma _-\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle +2|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \right)& =0+|\! \downarrow \rightarrow \rangle +2|\! \downarrow \rightarrow \rangle +2|\! \rightarrow \downarrow \rangle +|\! \rightarrow \downarrow \rangle +0 =\\ & =3\left( |\! \downarrow \rightarrow \rangle + |\! \rightarrow \downarrow \rangle \right)\\ \sigma _-\left(|\! \downarrow \rightarrow \rangle +|\! \rightarrow \downarrow \rangle \right)& =0+|\! \downarrow \downarrow \rangle +|\! \downarrow \downarrow \rangle +0\Rightarrow |\! \downarrow \downarrow \rangle \\ \sigma _-|\! \downarrow \downarrow \rangle & =0 \end{align*}

Získali jsme kvintuplet. Teď najdeme nejvyšší stav, který ještě nemáme popsaný, a to tak, že zkusíme přeskládat druhý stav z kvintupletu: $|\! \rightarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \rightarrow \rangle $. Skutečně je kolmý na všechny vektory kvintupletu. Aplikováním operátoru $\sigma _+$ ověříme, že je to skutečně vrchní stav nějakého multipletu.

\[ \sigma _+\left(|\! \rightarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \rightarrow \rangle \right)=|\! \uparrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \uparrow \rangle =0 \]

A multiplet dotvoříme posunováním tohoto stavu dolů.

\begin{align*} \sigma _-\left(|\! \rightarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \rightarrow \rangle \right)& =|\! \downarrow \uparrow \rangle +|\! \rightarrow \rightarrow \rangle -|\! \rightarrow \rightarrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle =|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ \sigma _-\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \right)& =0+|\! \downarrow \rightarrow \rangle -|\! \downarrow \rightarrow \rangle -0=|\! \downarrow \rightarrow \rangle + |\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ \sigma _-\left(|\! \downarrow \rightarrow \rangle + |\! \rightarrow \downarrow \rangle \right)& =0+|\! \downarrow \downarrow \rangle -|\! \downarrow \downarrow \rangle -0=0 \end{align*}

Dalším multipletem je tedy triplet. Stále nám jeden stav chybí. Podle naší kuchařky můžeme chybějící stav zkusit natipovat, ale tentokrát to není tak intuitivní. Pokud se to někomu povedlo, gratuluji, já jsem musela obecně hledat poslední stav, který je na všechny ostatní kolmý. Napíšeme skalární součiny se všemi dosud nalezenými bázovými vektory v původní bázi $(a|\! \uparrow \uparrow \rangle ,$ $b|\! \uparrow \rightarrow \rangle ,$ $c|\! \uparrow \downarrow \rangle ,$ $d|\! \rightarrow \uparrow \rangle ,$ $e|\! \rightarrow \rightarrow \rangle ,$ $f|\! \rightarrow \downarrow \rangle ,$ $g|\! \downarrow \uparrow \rangle ,$ $h|\! \downarrow \rightarrow \rangle ,$ $i|\! \downarrow \downarrow \rangle )$ a položíme je rovné nule. Odtud nám vyjdou koeficienty pro jednotlivé kombinace spinu.

\begin{align*} |\! \uparrow \uparrow \rangle \cdot (a,b,c,d,e,f,g,h,i)& =& a=0\\ \left(|\! \rightarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \rightarrow \rangle \right)\cdot (a,b,c,d,e,f,g,h,i)& =& b+d=0\\ \left(|\! \downarrow \uparrow \rangle +2|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \right)\cdot (a,b,c,d,e,f,g,h,i)& =& c+2d+g=0\\ \left(|\! \downarrow \rightarrow \rangle +|\! \rightarrow \downarrow \rangle \right)\cdot (a,b,c,d,e,f,g,h,i)& =& f+h=0\\ \left(|\! \rightarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \rightarrow \rangle \right)\cdot (a,b,c,d,e,f,g,h,i)& =& b-d=0\\ \left(|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \right)\cdot (a,b,c,d,e,f,g,h,i)& =& c-g=0\\ \left(|\! \downarrow \rightarrow \rangle +|\! \rightarrow \downarrow \rangle \right)\cdot (a,b,c,d,e,f,g,h,i)& =& h-f=0 \end{align*}

Výsledkem je vektor $|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle $. Pomocí posunovacích operátorů ukážeme, že je opravdu koncem i začátkem singletu.

\begin{align*} \sigma _+\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \right)& =& |\! \rightarrow \uparrow \rangle +0-|\! \uparrow \rightarrow \rangle -|\! \rightarrow \uparrow \rangle +0+|\! \uparrow \rightarrow \rangle =0\\ \sigma _-\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \right)& =& 0+|\! \downarrow \rightarrow \rangle -|\! \downarrow \rightarrow \rangle -|\! \rightarrow \downarrow \rangle +0+|\! \rightarrow \downarrow \rangle +0=0 \end{align*}

Na závěr si ukážeme matice některých operátorů v této bázi. Posunovací operátory jsou jednodušší, tam už máme výsledek rozepsaný výše.

\begin{align*} \sigma _{2+} \! \begin{pmatrix} |\! \uparrow \uparrow \rangle \\ |\! \rightarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle +2|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \rightarrow \rangle +|\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \downarrow \rangle \\ |\! \rightarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \rightarrow \rangle -|\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \end{pmatrix}\! = \! \begin{pmatrix} 0 \\ |\! \uparrow \uparrow \rangle \\ |\! \rightarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle +2|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \rightarrow \rangle +|\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ 0 \\ |\! \rightarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ 0 \end{pmatrix}\! \end{align*}\begin{align*} \sigma _{2-} \! \begin{pmatrix} |\! \uparrow \uparrow \rangle \\ |\! \rightarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle +2|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \rightarrow \rangle +|\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \downarrow \rangle \\ |\! \rightarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \rightarrow \rangle -|\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \end{pmatrix}\! = \! \begin{pmatrix} |\! \rightarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle +2|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \rightarrow \rangle +|\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \downarrow \rangle \\ 0 \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\! \end{align*}\begin{align*} \sigma _{2+}=\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\! \, ,\quad \sigma _{2-}=\! \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\! \end{align*}

Tím bychom měli zadání splněné. Ale ukážeme si ještě působení operátoru $\hat S_ z$ pro dva elektrony – $\sigma _{2z}$.

\[ \! \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\! \! \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\! = \! \begin{pmatrix} u \\ 0 \\ -w \end{pmatrix}\! \]

Matice $\sigma _ z$ se tedy chová tak, že spin nahoru nezmění, nulový průmět spinu (námi značený šipkou doprava) vynuluje a u spinu dolů změní znaménko.

\begin{align*} \sigma _{2z}\! \begin{pmatrix} |\! \uparrow \uparrow \rangle \\ |\! \rightarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle +2|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \rightarrow \rangle +|\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \downarrow \rangle \\ |\! \rightarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \rightarrow \rangle -|\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ \end{pmatrix}\! = \left(\sigma _ z^1 1^2+1^1\sigma _ z^2\right) \! \begin{pmatrix} |\! \uparrow \uparrow \rangle \\ |\! \rightarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle +2|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \rightarrow \rangle +|\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \downarrow \rangle \\ |\! \rightarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \rightarrow \rangle -|\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \rightarrow \rightarrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ \end{pmatrix}\! =\\ \! \begin{pmatrix} |\! \uparrow \uparrow \rangle \\ 0+|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ -|\! \downarrow \uparrow \rangle +0+|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ -|\! \downarrow \rightarrow \rangle +0 \\ -|\! \downarrow \downarrow \rangle \\ 0-|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ -|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ -|\! \downarrow \rightarrow \rangle -0 \\ -|\! \downarrow \uparrow \rangle -0+|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ \end{pmatrix}\! + \! \begin{pmatrix} |\! \uparrow \uparrow \rangle \\ |\! \rightarrow \uparrow \rangle +0 \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle +0-|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ 0-|\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ -|\! \downarrow \downarrow \rangle \\ |\! \rightarrow \uparrow \rangle -0 \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ 0+|\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ |\! \downarrow \uparrow \rangle -0-|\! \uparrow \downarrow \rangle \\ \end{pmatrix}\! = \! \begin{pmatrix} 2|\! \uparrow \uparrow \rangle \\ |\! \rightarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ 0 \\ -|\! \downarrow \rightarrow \rangle -|\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ -2|\! \downarrow \downarrow \rangle \\ |\! \rightarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \rightarrow \rangle \\ 0 \\ -|\! \downarrow \rightarrow \rangle +|\! \rightarrow \downarrow \rangle \\ 0 \\ \end{pmatrix}\! \end{align*}

Teorém Noetherové

Nejprve si ukážeme, že aplikace transformace na stavový vektor i na operátory je skutečně v pořádku.

Mějme nějakou grupu $G$ transformací, které například převádějí různé soustavy souřadnic mezi sebou, takže různá otočení, zrcadlení, posunutí, …Každému jejímu prvku $g$ přísluší operátor $\hat g$. Změna souřadnic působí na stavový vektor:

$ g:|\psi \rangle \rightarrow |\psi ^\prime \rangle $, kde $|\psi ^\prime \rangle =\hat g|\psi \rangle $

Změní se i operátory příslušné měřitelným veličinám ($\hat A$)? Typicky ano, se starými operátory by nám to ale nefungovalo. Jak to napravit, aby to fungovalo? Podobnostní transformací:

$ \hat A \rightarrow \hat A^\prime $, kde $\hat A^\prime =\hat g\hat A\hat g^{-1} $

Mělo by být jedno, jestli nejdřív provedeme měření (působíme na stavový vektor operátorem měřitelné fyzikální veličiny) a pak teprve změníme souřadnou soustavu, nebo naopak.

\[ \hat A^\prime |\psi ^\prime \rangle = \left(\hat g\hat A\hat g^{-1}\right)\left(\hat g|\psi \rangle \right)= \hat g\hat A\left(\hat g^{-1}\hat g\right)|\psi \rangle = \hat g\left(\hat A|\psi \rangle \right) \]

Pokud se hamiltonián $\hat H$, nejdůležitější operátor kvantové mechaniky, transformací $g$ nezmění, říkáme, že je problém vůči transformaci symetrický. To nastává právě tehdy, když operátor transformace $\hat g$ s Hamiltoniánem komutuje.

\[ \hat H=\hat g\hat H\hat g^{-1}\Leftrightarrow \left[\hat H, \hat g\right]=0 \]

A pokud se Hamiltonián nezmění aplikací žádného prvku grupy G, říkáme, že problém je symetrický vůči celé grupě.

Důsledkem takové symetrie je degenerace řešení Schrödingerovy rovnice: Je-li řešením stavový vektor $|\psi _ i\rangle $ příslušný energii $E_ i$, je řešením i $\hat g|\psi _ i\rangle $ také příslušný energii $E_ i$. Energetická hladina je degenerovaná a pokud známe jeden stav, který k ní přísluší, aplikací grupy dokážeme najít všechny ostatní. Přesně to jsme dělali pomocí posunovacích operátorů na prostoru spinů: Pro dvě částice se spinem 1/2 máme singletní a tripletní stav. Jim přísluší určité energie $E_ S$ a $E_ T$ a ireducibilní reprezentace spinové grupy, přičemž tripletní stav je degenerovaný. Pomocí posunovacích operátorů jsme pak dokázali z jednoho libovolného stavu v rámci tripletu získat všechny ostatní.

Tahle metoda je naprosto obecná a ke spoustě problémů se dá najít grupa $G$, která jej více či méně šikovně popisuje. Existuje i přístup, kdy celý Hilbertův prostor (tedy prostor všech možných stavových vektorů systému) považujeme za podprostor příslušný nějaké ireducibilní reprezentaci nějaké opravdu velké grupy $\bar G$. Říká se jí dynamická grupa. Neví se, jestli obecná dynamická grupa pro kvantovou mechaniku existuje, ale rozhodně existují vědci, kteří ji hledají. Pro některé vybrané systémy ale dynamická grupa existuje. Pracovali jsme s nimi při hledání molekulových vibrací.

Symetrií fyzikálního systému vůči nějaké grupě se budeme zabývat i v tomto díle seriálu. Tento pojem totiž figuruje v jedné z nejdůležitějších vět fyziky, teorému Noetherové:

„Je-li daný fyzikální systém symetrický vzhledem k nějaké Lieově grupě o $n$ spojitých parametrech, pak tento systém vykazuje zachování $n$ fyzikálních veličin.“

Tedy zákony zachování ve fyzice souvisí se symetrií.

Dají se najít všelijaké zákony zachování, které platí jenom někde a někdy (jenom v určitých systémech), např. zákon zachování hmotnosti nebo mechanické energie, ale jsou i zákony zachování, které platí naprosto obecně, tedy vždy a všude.

Asi vás napadne, že každý systém by měl být symetrický vůči transformacím soustavy souřadné – a skutečně, z těchto transformací plynou některé velmi známé a důležité zákony zachování. Probereme si je postupně podle druhu.

Homogenita prostoru znamená symetrii fyzikálních zákonů vůči posunutí soustavy souřadné. Ať už jsme doma, ve škole, na Marsu nebo v jiné galaxii, Newtonův gravitační zákon bude všude $F=\varkappa \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Proto si můžeme zvolit počátek soustavy souřadné libovolně, fyzikální zákony na absolutních souřadnicích nezávisí. Lieova grupa všech posunutí je v našem třídimenzionálním prostoru taktéž třídimenzionální, takže s homogenitou prostoru souvisí zachování tří fyzikálních veličin nebo jedné vektorové (zachovávají se všechny tři složky vektoru nezávisle). Touto veličinou je hybnost.

Izotropie prostoru znamená symetrii fyzikálních zákonů vůči otočení soustavy souřadné. Můžeme si libovolně zvolit směry souřadných os, dokud budou navzájem kolmé a soustava bude pravotočivá1. Otáčet také můžeme kolem tří různých os, proto i Lieova grupa otočení je třírozměrná a souvisí s ní zachování vektorové veličiny ve smyslu zachování všech složek vektoru. Tímto vektorem je moment hybnosti.

Homogenita času znamená symetrii vůči posunu v čase. Můžeme si libovolně zvolit počátek času. Čas má jenom jednu dimenzi, takže s touto symetrií souvisí zachování skalární veličiny – celkové energie systému. Tady zdůrazňuji, že jde o energii celého systému, protože jednotlivé objekty si mohou energii mezi sebou předávat (to i platí o hybnosti a momentu hybnosti). Také je důležité slovo „celková“, tedy nejen energie mechanická, ale i teplo, energie chemických vazeb, energie hmoty ($E=mc^2$) nebo cokoli jiného, co v daném problému může hrát roli.

Běžně předpokládáme, že fyzikální zákony jsou nezávislé na volbě soustavy souřadné i v případě, že přecházíme mezi soustavami pohybujícími se vůči sobě rovnoměrně přímočaře. V klasické fyzice se takovým převodům souřadnic říká Galileiho transformace, v relativistické fyzice Lorenzova transformace. Zmíněné transformace můžeme shrnout do šestidimenzionální Lorenzovy grupy. Doteď platilo, že ke každé dimenzi grupy jsme měli rovnici tvaru $A=konst.$, jejíž platnost se zachovávala. Tady obecně nelze jednoduše ukázat na veličinu, která se má zachovávat. S Lorenzovou grupou souvisí zachování platnosti pohybových rovnic. Máme tedy obecně platné rovnice pro přímou i úhlovou rychlost, které ale nejsou tak jednoduché jako $A=konst$. Kromě speciálního případu,2 kdy se nemění hmotnost systému. Tehdy se zachovává rychlost těžiště systému. Sjednocení Lorenzovy grupy a homogenity prostoru a času říkáme Poincarého grupa.

Důsledkem těchto symetrií je, že fyzikální zákony nemohou záviset na absolutních souřadnicích a čase, jen na relativních. Třeba v Newtonově gravitačním zákoně nemáme souřadnice dvou těles, ale jejich vzájemnou vzdálenost. U všech časových vývojů nepracujeme s časem na hodinách, ale s časem od začátku pokusu, od nějakého známého stavu – místo hodin používáme stopky. Dalším důsledkem je, že Hamiltonián (operátor energie) nesmí explicitně záviset na čase. (Smí ale záviset na veličinách, které se s časem mění.)

Ze zákona zachování fyzikální veličiny $A$ ve tvaru $A=konst.$ plyne rovnice kontinuity pro veličinu $A$. Pokud se někde hustota $\varrho $ veličiny $A$ zvětšila, musela se také jinde zmenšit a musela se z místa na místo přesunout tokem $\vec j$.

\[ \frac{\partial \varrho }{\partial t}+\vec\nabla \cdot \vec j=0\, ,\quad \vec\nabla =\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right) \]

$\vec\nabla $ je vektorový diferenciální operátor zvaný nabla. Obvykle se píše bez šipky, pro naše účely je ale lepší zdůraznit jeho vektorový charakter.

Například ze zákona zachování hmotnosti (který platí jenom ve speciálních případech, ale přesto je užitečný) plyne rovnice kontinuity používaná pro kapaliny.

\[ \frac{\partial \varrho }{\partial t}+\rho \vec\nabla \cdot \vec v=0 \]

Symetrie časoprostoru už jsme vyčerpali.3 Různých zachovávajících se veličin je ale ještě mnoho. Další důležitou skupinou symetrií jsou kalibrační symetrie. Jsou to symetrie rovnic popisujících fyzikální zákony vůči určitým kalibračním transformacím.

Každou sílu $F$ můžeme zapsat pomocí příslušného potenciálu $\alpha $ a příslušné vlastnosti tělesa $a$. Kalibrační transformace mění potenciál $\alpha $ způsobem, který nezmění výslednou sílu na dané těleso. Ukážeme si to na elektromagnetické interakci.

Elektrické a magnetické pole můžeme popsat různými veličinami, na střední škole se vetšinou používá intenzita elektrického pole $\vec E$ a magnetická indukce $\vec B$. Stejně tak můžeme použít elektrickou indukci $\vec D$ a intenzitu magnetického pole $\vec H$, z předchozích veličin se vypočtou pomocí materiálových konstant – permitivity $\varepsilon $ a permeability $\mu $.

\[ \vec D=\varepsilon \vec E\, ,\quad \vec B=\mu \vec H \]

Další možností je použít elektrostatický potenciál $\varphi \left(\vec x\right)$ a elektromagnetický potenciál $\vec A\left(\vec x\right)$.

\[ \vec B=\vec\nabla \times \vec A\, ,\quad \vec E=-\vec\nabla \varphi -\frac{\partial \vec A}{\partial t} \]

Teď vytvoříme kalibrační transformaci pomocí libovolně zvolené funkce času a polohy $f\left(\vec x ,t\right)$ a transformujeme pomocí ní oba potenciály.

\[ \varphi ^\prime =\varphi +\frac{\hbar }{e}\frac{\partial }{\partial t}f\, ,\quad \vec A^\prime =\vec A-\frac{\hbar }{e}\vec\nabla f \]

Ukážeme, že takovouto transformací se fyzika systému (intenzita elektrického pole a magnetická indukce) nezmění.

\begin{align*} \vec E^\prime & = -\vec\nabla \varphi ^\prime -\frac{\partial \vec A^\prime }{\partial t}= -\vec\nabla \left(\varphi +\frac{\hbar }{e}\frac{\partial }{\partial t}f\right)- \frac{\partial }{\partial t}\left(\vec A-\frac{\hbar }{e}\vec\nabla f\right)= -\vec\nabla \varphi -\frac{\partial \vec A}{\partial t}= \vec E\\ \vec B^\prime & = \vec\nabla \times \vec A^\prime = \vec\nabla \times \vec A-\frac{\hbar }{e}\vec\nabla \times \vec\nabla f= \vec\nabla \times \vec A \end{align*}

V první rovnici se členy s funkcí $f$ navzájem vyruší, ve druhé používáme vektorovou identitu $\vec\nabla \times \vec\nabla X=0$. Tvar interakce částic splňuje kalibrační symetrii. Důsledkem kalibrační symetrie elektromagnetického pole je existence fotonu, jakožto částice zprostředkovávající elektromagnetickou interakci.

Podle teorému Noetherové by měly i kalibrační symetrie souviset s nějakými zachovávajícími se veličinami. Pro elektromagnetickou interakci je to zachování elektrického náboje.

Podobnou formu kalibrační symetrie mají i další interakce. Pro silnou jadernou interakci plyne z kalibrační symetrie existence gluonu a zákon zachování barvy4. Pro slabou jadernou interakci kalibrační symetrie produkuje slabé intermediální bosony a souvisí s ní zákon zachování počtu leptonů. Problém je ale v tom, že kalibrační symetrie slabé interakce produkuje jen nehmotné intermediální částice a slabé bosony jsou ve skutečnosti velmi těžké. Tento problém vyřešila až teorie zavádějící úplně nové pole a novou intermediální částici – Higgsovo pole a Higgsův boson. Higgsovo pole popisuje míru spontánního narušení symetrie.

Spontánní narušení symetrie v životě pozorujeme celkem běžně. Postavíme třeba tužku na špičku. Naprosto dokonalou symetrickou tužku na naprosto rovnou vodorovnou desku stolu. Taková situace je rotačně symetrická, všechny směry okolo tužky jsou ekvivalentní. Ale tužka si jeden z nich spontánně náhodně vybere a tímto směrem spadne. Symetrie se spontánně naruší, protože nesymetrická situace má výrazně nižší energii. Jiným příkladem je chlazení ferromagnetického materiálu, třeba oceli. Při vysoké teplotě máme v oceli spoustu maličkých domén, ve kterých mají atomy stejnou magnetizaci. Dohromady se ale magnetizace jednotlivých domén vyruší a kus oceli je navenek nezmagnetovaný. Všechny směry magnetického pole, do kterého bychom takový kus oceli vložili, jsou ekvivalentní, situace je symetrická. Když ale takový kus oceli chladíme, odebíráme mu energii, a tak ho nutíme zaujímat energeticky výhodnější uspořádání. Rozhraní mezi jednotlivými doménami jsou energeticky náročné. Proto si ocel spontánně vybere nějaký náhodný směr a všechny domény se přemagnetují právě do tohoto směru. Symetrie je porušená, různé směry magnetického pole už nejsou ekvivalentní.

Stav vesmíru a fyzikálních zákonů tak, jak je pozorujeme, tedy nezávisí jen na elementárních zákonech jako takových, na rovnicích, podle nichž se řídí. Závisí i na tom, které konkrétní řešení se realizuje.

Standardní model

V minulém díle jsme se zmínili o různých typech elementárních částic. Už víme, že máme intermediální bosony zprostředkovávající interakce a základní fermiony, z nichž se skládá hmota. Základními fermiony jsou leptony a kvarky. A z kvarků se skládají těžší částice – hadrony, které mohou být jak fermiony, pak se jim říká baryony, tak bosony, těm říkáme mezony. Těchto částic je ale opravdu hodně a brzy vznikla potřeba udělat v nich pořádek. A to nejlépe takový pořádek, který dává fyzikálně nějaký smysl. Tímto pořádkem je Standardní model.

Standardní model vychází z pozorování, že existují skupiny částic, které si jsou velice podobné. Většinu parametrů mají úplně stejných, jejich hmotnosti se liší jen velmi málo a mají jiný elektrický náboj. Příkladem je proton a neutron nebo trojice $\Sigma ^-$, $\Sigma ^0$ a $\Sigma ^+$. Zjistilo se, že se tyto skupiny dají popsat pomocí obdoby spinových posunovacích operátorů. Vyskytují se v určitých multipletech a pro některé systémy můžeme vytvořit více multipletů. Veličině, kterou v multipletech posouváme, se pro podobnost se spinem říká isospin.

Obrázek 1: Baryony seskupujeme do multipletu podle spinu a isospinu. Z kvarků $u$, $d$ a $s$ můžeme složit spoustu různých baryonů. Vlevo oktuplet částic se spinem $\frac{1}{2}$ (takže muže mít průměty $+\frac{1}{2}$ a $-\frac{1}{2}$) a vpravo dekuplet částic se spinem $\frac{3}{2}$ (odpovídá vyššímu multipletu ve spinu), v jednotlivých řádcích najdete multiplety podle isospinu. Hvězdičky značí excitovaný stav částice, v našem případě fakt, že částice patří do vyššího multipletu.

Poskládání do multipletu bylo vysvětleno právě tím, že hadrony jsou složeny z nějakých menších částic se spinem $\frac{1}{2}$ – tak byly předpovězeny kvarky. Kvarky se vyskytují výhradně jako součást hadronu, neexistují samostatně. Většina jejich vlastností jako náboj, isospin, hmotnost, atd. byla zahrnuta pod pojem vůně. Vůně jsou tedy dnes známá jména kvarků: up, down, strange, charm, true, beauty. Byla jim přidělena i barva – vlastnost, kterou přímo nepozorujeme, ale funguje skrze ni silná jaderná interakce. Všechny částice, které jsou schopny samostatné existence, jsou bezbarvé. To, že existuje nějaká nová trojrozměrná vlastnost, bylo prokázáno na základě statistického rozdělení výsledků experimentu: Při srážce elektronu s pozitronem vzniká dvakrát více hadronů než mion-antimionových párů.

V minulém díle při práci se spiny jsme předpokládali, že předem víme o skládání kvarků do baryonu. Jak ale teď vidíme, kvarky byly objeveny díky teorii grup.

Supersymetrie

Je vždy dobré, pokud se podaří více symetrií sjednotit do jedné grupy, fyzikální teorie se tak stává obecnější a je pak pravděpodobnější, že to už je ono. Nejde jen o nějaká přiblížení typu sférický kůň ve vakuu. Ideální je pak mít Teorii všeho. Proto se fyzici snažili najít nějakou grupu, do které by se daly zahrnout časoprostorové i kalibrační symetrie. To nijak rozumně nejde. Můžeme je ale sjednotit do supergrupy.

Supergrupa je struktura se dvěma sektory. V sudém sektoru jsou prvky běžné Lieovy grupy generované množinou generátorů $\{ A_1,\dots ,A_ n\} $, pro které platí komutační relace

\[ \left[A_ i,A_ j\right]=\sum _ k c_{ijk} A_ k \]

kde $c_{ijk}$ jsou nějaké strukturní koeficinety. Lichý sektor je tvořen jinou Lieovou grupou s množinou generátorů $\{ B_1,\dots ,B_ n\} $, pro které platí antikomutační relace:

\[ \left\{ B_ i,B_ j\right\} =\sum _ k c_{ijk} A_ k \]

Antikomutátor je definován jako $\{ a,b\} =ab+ba$. Sudý sektor je tedy s lichým propojený – jednak antikomutačními relacemi svých generátorů, a jednak vzájemnými komutačními relacemi generátorů obou sektorů:

\[ \left[A_ i,B_ j\right]=\sum _ k c_{ijk} B_ k \]

Nějakou supergrupu se podařilo najít. Pokud si za generátory vezmeme kreační a anihilační operátory bosonů a fermionů (z předchozích dílů tušíme, že bosony budou sudé a fermiony liché), bude to matematicky fungovat. Této teorii se říká teorie supersymetrie.

Kreační a anihilační operátory si můžete představit jako obdobu posunovacích operátorů u spinu. Kreační operátor fotonu $a_ f$ způsobí přidání jednoho fotonu do systému a příslušný anihilační operátor $a_ f^\dagger $ způsobí jeho odebrání. Pro bosonové anihilační a kreační operátory dál platí:

\begin{align*} \left[a_ i,a_ j^\dagger \right]=\delta _{ij}\, & ,\quad \left[a_ i,a_ j\right]=\left[a_ i^\dagger ,a_ j^\dagger \right]=0\\ \delta _{ij}=1\, \, \mathrm{pro}\, \, i=j& ,\quad \delta _{ij}=0\, \, \mathrm{pro}\, \, i\not=j \end{align*}

Obdobně jsou definovány i anihilační a kreační operátory pro fermiony. Platí pro ně:

\[ \left\{ b_ i,b_ j^\dagger \right\} =\delta _{ij}\, ,\quad \left\{ b_ i,b_ j \right\} =\left\{ b_ i^\dagger ,b_ j^\dagger \right\} =0 \]

Taková teorie ale vyžaduje uspořádání elementárních částic do fermion-bosonových párů. K fotonu by muselo existovat fermionové fotino, ke gluonu gluino, k elektronu bosonový selektron, ke kvarku skvark, atd. Žádné takové částice se nepozorují. Tahle teorie ale zatím nebyla zavržena, protože když něco nevidím, tak to ještě neznamená, že to není. Třeba je jen potřeba se dívat lépe, nebo úplně jinak.

Teorie grup a symetrie hrají roli i v teoriích supergravitace a superstrun. Tyto teorie mají ale zase tu nemilou vlastnost, že vyžadují alespoň deset prostorových dimenzí. Z těchto mnoha dimenzí vidíme jenom tři, ostatní mají být zkolabované, a tvořit pole známých interakcí.


1) Představte si, že v místě, kde stojíte, je počátek kartézské soustavy. Osa $x$ nechť směřuje přímo vpřed, osa $y$ nechť směřuje vlevo a osa $z$ nechť směřuje vzhůru.

2) Výrazem speciální případ ve fyzice myslíme situace, o kterých předpokládáme něco navíc. Dovoluje nám to využívat různé aproximace. Příkladem je nerelativistická fyzika, která je speciálním případem relativistické fyziky pro situace, kdy se všechna tělesa v systému pohybují výrazně pomaleji než světlo. Není výjimkou, že se setkáváme prakticky jen s tím speciálním případem, takže je vlastně velmi běžný.

3) Čas vůči otočení symetrický není, to vidíme v běžném životě neustále.

4) Barva je třírozměrná veličina a popisuje „náboj“ částic pro silnou jadernou interakci.

6.5 Teorie grup V (5b)

Vymyslete nějaký „zákon zachování“, který neplatí, a popište situaci, kdy neplatí. Body dostanete dle náročnosti a originality.