Úloha 6.u4: Albertovy družice (4 b)

Zadáno v čísle 22.6.

Řešeno v čísle 22.8.

Zadání

Určování polohy pomocí GPS je založeno na přesném měření času v družicích. Aby bylo určování přesné, je potřeba brát v úvahu i relativistické jevy, a to dilataci času. Odvoďte, jak se změní frekvence signálu vysílaného družicí v důsledku obecné teorie relativity (tedy změny potenciálu gravitačního pole). Změní se frekvence i kvůli jinému jevu? Vysvětlete.

Řešení

Všetky komunikačné technológie na diaľku používajú elektromagnetické žiarenie. To je tvorené fotónmi. Fotóny majú vlastnú energiu fotónu danú vzťahom

\[ E _\mathrm {f} = hf, \]

kde $h$ je Planckova konštanta a $f$ frekvencia vlnenia. Táto energia fotónu je rovná kinetickej energii fotónu. Fotón nemá pokojovú hmotnosť, ale pohybovú ľahko vypočítame pomocou vzťahu

\[ E _\mathrm {f} = m _\mathrm {f}c^2, \]

kde $c$ je rýchlosť svetla.

Kvôli pohybovej hmotnosti pôsobí na fotón gravitačné pole. Pre potenciálnu energiu pri fotóne platí, že sa pridá alebo odoberie z energie fotónu. V newtonovskej fyzike pre ňu platia vzťahy

\begin{align*} \Delta E _\mathrm {p} =& -\Delta E_ f,\\ \Delta E _\mathrm {p} =& \int _{r_1}^{r_2}F\, \mathrm{d}{r},\\ \end{align*}

kde $F$ je gravitačná sila pôsobiacia na fotón. Našu hľadanú hodnotu $\Delta f/f$ dostaneme nasledujúcimi úpravami. Pri úpravách zanedbáme zmenu hmotnosti fotónu a dostaneme:

\begin{align*} \Delta f=& {\Delta E_ f \over h}\, ,\\ \Delta f=& -\int _{{R _\mathrm {z}}+ l}^{R _\mathrm {z}} { G{M _\mathrm {z}}{}m _\mathrm {f} \over hr^2 } \, \mathrm{d}{r}\, ,\\ {\Delta f\over f}=& -\int _{{R _\mathrm {z}}+ l}^{R _\mathrm {z}} { G{M _\mathrm {z}}{} \over c^2r^2 } \, \mathrm{d}{r}\, ,\\ {\Delta f\over f}=& - { G{M _\mathrm {z}}{} \over c^2 } \int _{{R _\mathrm {z}}+ l}^{R _\mathrm {z}} {1\over r^2} \, \mathrm{d}{r}\, ,\\ {\Delta f\over f}=& { G{M _\mathrm {z}}{} \over c^2 } \left({1\over {R _\mathrm {z}}} - {1\over {R _\mathrm {z}}+ l} \right),\\ \end{align*}

kde $G$ je gravitačná konštanta, ${R _\mathrm {z}}$ polomer Zeme, $l$ vzdialenosť družice od povrchu Zeme a ${M _\mathrm {z}}$ hmotnosť Zeme.

GPS satelity sú na dráhe približne 20 000$\, \textrm{km}$ nad Zemským povrchom. Závisí od polohy prístroja na Zemi a pohybe satelitu po jeho obežnej dráhe ako sa bude meniť ich vzájomná vzdialenosť. Pri zmene ich vzájomnej vzdialenosti sa prejaví Dopplerov posuvný jav. Tento posun bude aj posuvný do červena alebo do modra, gravitačný posun bude iba do modra v našom prípade.

Pre hodnoty $G=6,67\cdot 10^{-11}\rm m^{3}kg^{-1}s^{-2}$, $M_{\rm z}=5,97\cdot 10^{24}$

kg, $c=3\cdot 10^{8}\, \rm ms^{-1}$, $R_{\rm z}=6\, 371$ km a $l=20\, 000$ km dostaneme výsledok $\Delta f/f\approx 5,3\cdot 10^{-10}$. Pokiaľ by sme všetko počítali presne podľa obecnej teórie relativity, výsledok by bol v prvom priblížení zhodný s naším výsledkom.

Kubo