Úloha 1.u3: Hudební virtuóz (4 b)

Zadáno v čísle 23.1.

Řešeno v čísle 23.3.

Zadání

Riki chce svému kamarádovi zahrát na theremin písničku (notový zápis na obrázku). Nástroj je však pokažený a hraje nepřetržitě jeden tón, komorní a. Může ale měnit intenzitu zvuku. Napadlo jej, že když se bude s thereminem pohybovat, uslyší kamarád jiný tón. Jak konkrétně by se musel pohybovat, aby kamarád slyšel kýženou písničku? Jako bonus se zkuste zamyslet, co by musel udělat, kdyby v notovém zápisu byly pomlky.

Řešení

Fyzikálním základem této úlohy je Dopplerův jev, na to jste přišli všichni a našli jste si v učebnici fyziky nebo na wikipedii příslušné vzorce. Když se zdroj zvuku (rychlost zvuku je $v_ z$) o frekvenci $f_0$ pohybuje směrem od vás rychlostí $v$, frekvence zvuku se snižuje

\[ f=f_0\cdot \frac{v_ z}{v_ z+v}\, , \]

a pokud se zdroj přibližuje, pak se frekvence zvyšuje

\[ f=f_0\cdot \frac{v_ z}{v_ z-v}\, . \]

Pokud bychom brali rychlost přibližování jako kladnou a vzdalování jako zápornou, stačí nám druhý ze vzorců. Abychom ale mohli úlohu vyřešit, musíme si vyjasnit ještě dvě věci: jak funguje theremin a co přesně znamená ten notový zápis.

Theremin1 je elektronický hudební nástroj, vynalezený už v roce 1919 Lvem Sergejevičem Těrmenem. Je tvořen dvěma oscilačními obvody, jeden z nich má pevnou frekvenci oscilací, frekvenci druhého můžeme měnit pomocí změn kapacity antény k němu připojené. Rozdíl oscilačních frekvencí obou obvodů, zázněj, je pak veden do zesilovače připojeného ke druhé anténě. Theremin se ovládá pouze pohybem rukou v okolí antén – vzdálenost rukou od antény ovlivňuje vlastnosti zvuku. První anténa ovládá výšku tónu – tu máme rozbitou, takže dokážeme hrát pouze komorní a, a druhá ovládá hlasitost zvuku – ta nám funguje.

Nad osnovou máme udáno, že čtvrťová nota rovná se osmdesát. To udává tempo – v jedné minutě máme 80 dob, tedy 80 čtvrťových not.2 Z toho vypočteme, že čtvrťová nota trvá 0,75$\, \textrm{s}$, osminová 0,375$\, \textrm{s}$ a čtvrťová s tečkou 1,125$\, \textrm{s}$ (tečka znamená prodloužení doby noty o její polovinu)3. Samotný notový zápis nám říká, které konkrétní tóny potřebujeme zahrát, tedy g, c, cis, a a nakonec h.

Teď už máme základní údaje a můžeme spočítat, jakou rychlostí se musí Riki pohybovat, aby hrál jednotlivé tóny. Stačí si najít jejich frekvence ($f_ a=440 \, \mathrm{Hz}$, $f_ g=392 \, \mathrm{Hz}$, $f_ c=523,26 \, \mathrm{Hz}$, $f_{cis}=554 \, \mathrm{Hz}$ a $f_ h=493,88 \, \mathrm{Hz}$)4, a dosadit do výše uvedených vzorců. Dostaneme: $v_ a=0 \, \mathrm{m/s}$, $v_ g=-42,0 \, \mathrm{m/s}$, $v_ c=54,6 \, \mathrm{m/s}$, $v_{cis}=70,6 \, \mathrm{m/s}$ a $v_ h=37,4 \, \mathrm{m/s}$. Vidíme, že se musíme pohybovat opravdu vysokými rychlostmi, 70$\, \textrm{m/s}$ už je 250$\, \textrm{km/h}$. Ani nemluvíme o zrychleních nutných k přechodu z jedné rychlosti na druhou. Největší rozdíl máme mezi g a c, kde musíme změnit rychlost o skoro 100$\, \textrm{m/s}$, a to prakticky skokově. Pokud by změna trvala ještě akceptovatelnou desetinu sekundy, byl by Riki s thereminem vystaven zrychlení $1\, 000 \, \mathrm{m/s^2}$ tedy 100$\, \textrm{G}$. Pro člověka už je 20$\, \textrm{G}$ smrtelných5, malí tvorové údajně zvládnou vyvinout zrychlení až 100$\, \textrm{G}$6. Tak hodně štěstí, snad to přežije Riki i theremin.

 

Dalším krokem je určit, jak dlouho je potřeba se tou kterou rychlostí pohybovat. Většina z vás zkrátka použila doby trvání jednotlivých tonů podle notového zápisu. To je celkem rozumné přiblížení a Rikiho kamarád by si nejspíš ničeho nevšiml. Pokud bychom ale chtěli být přesní, měli bychom uvážit i změny v době trvání zvuku. Jednoduše si problém představíme tak, že když se nám mění frekvence zvuku, tak se mění i perioda kmitu.

\[ f={1\over T}\quad \mathrm{a}\quad f=f_0\cdot \frac{v_ z}{v_ z+ v}\quad \Rightarrow \quad T_0=T\cdot \frac{v_ z}{v_ z+ v} \]

Počet kmitů se ale nemění, takže se musí změnit doba trvání zvuku.

\[ t_0=t\cdot \frac{v_ z}{v_ z+v} \]

Nejprve hrajeme osminovou g, pohybujeme se rychlostí $v_ g=42 \, \mathrm{m/s}$ směrem od posluchače, délka tónu pro posluchače má být $t_ g=0,38 \, \mathrm{s}$. Pak doba, po kterou musí Riki tón hrát, je $t_{g0}=0,33 \, \mathrm{s}$. Následuje osminová c, kterou musí Riki hrát $t_{c0}=0,45 \, \mathrm{s}$, čtvrťová cis po dobu $t_{cis0}=0,94 \, \mathrm{s}$, čtvrťová a s tečkou, tady se Riki po dobu 1,13$\, \textrm{s}$ nepohybuje, a nakonec osminová h, kterou musí Riki hrát po dobu $t_{h0}=0,42 \, \mathrm{s}$. Jak vidíme, změny délky tónů jsou skutečně malé, a hudební znalec by možná rozpoznal špatnou délku tónu cis, kde už rozdíl činí dvě desetiny sekundy. Reálně potřebujeme časy jen s přesností na desetiny sekundy, v hudební nauce se ale používají nedesetinné zlomky, tak jsem tady nechala zbytečně větší přesnost, konzistentní se zadáním.

Poslední věc, kterou musíme spočítat, jsou dráhy, které Riki při jednotlivých tónech urazí. Tahle písnička totiž obnáší hodně přibližování, a proto je potřeba zjistit, jak daleko od svého kamaráda musí Riki začít. Ale to už je opravdu triviální, dráhy budou postupně $-14,03 \, \mathrm{m}$, $+24,35 \, \mathrm{m}$, $+66,65 \, \mathrm{m}$, $0 \, \mathrm{m}$ a $+15,75 \, \mathrm{m}$. Riki tedy musí začít minimálně ve vzdálenosti $92,72 \, \mathrm{m}$ od kamaráda.

Tím bychom měli pohyb popsaný, ještě si vše shrneme v tabulce.

tón

f$\, \textrm{[Hz]}$

v$\, \textrm{[m/s]}$

$\, \textrm{t[s]}$

$\, \textrm{s[m]}$

g

$392$

$-42,0$

$0,33$

$-14,03$

c

$532,26$

$+54,6$

$0,45$

$+24,35$

cis

$554$

$+70,6$

$0,94$

$+66,65$

a

$440$

$0$

$1,13$

$0$

h

$493,88$

$+37,4$

$0,42$

$+15,75$

Zbývá nám jen bonusový problém – jak vyřešit pomlky. Triviálním řešením je snížit hlasitost thereminu na nulu, tedy ho vypnout. To můžeme, protože anténa ovládající amplitudu zvuku nám funguje. Tohle řešení napadlo jen pár řešitelů. Někteří řešitelé navrhovali, aby se Riki pohyboval takovou rychlostí, aby posunul frekvenci zvuku mimo slyšitelnou oblast. Jak našla Dr. Anna Mlezivová, lidé slyší zvuky o frekvencích od 16$\, \textrm{Hz}$ do 20$\, \textrm{kHz}$ a lišky od 51$\, \textrm{Hz}$ do 48$\, \textrm{kHz}$. Jiní řešitelé navrhovali Rikimu pohybovat se rychlostí zvuku, což ovšem není správné řešení. Pokud se Riki pohybuje rychlostí zvuku k posluchači, tak k němu dorazí ve stejnou dobu, jako zvuk který vydává, ale do té doby uslyší, co Riki hrál předtím, takže se nedá mluvit o pomlce. Pokud by se Riki pohyboval rychlostí zvuku směrem od kamaráda, dojde jen ke snížení frekvence na polovinu, takže opět žádná pomlka.

Zuzka


1) https://cs.wikipedia.org/wiki/Theremin

2) https://cs.wikipedia.org/wiki/Tempo

3) http://www.musicart.cz/ex/edu/hn1/files/assets/basic-html/page23.html

4) http://www.fi.muni.cz/usr/jkucera/pv109/2001/xuher/xuher.html

5) http://fyziologie.lf2.cuni.cz/hampl/teach_mat/extremy/extr_st2.htm

6) http://phys.org/news/2016-01-tiniest-chameleons-powerful-tongue-lashings.html, http://www.sciencefocus.com/qa/whats-highest-g-force-insect-can-survive