Úloha 6.u1: Černá a bílá čísla (3 b)

Zadáno v čísle 22.6.

Řešeno v čísle 22.8.

Zadání

Každé přirozené číslo1 obarvíme černě, nebo bíle tak, že součet každé různobarevné dvojice je černý, zatímco součin je bílý.

  • Jakou barvu má součin dvou bílých čísel?

  • Charakterizujte všechna vyhovující obarvení.


1) Nulu za přirozené číslo nepovažujeme.

Řešení

Tuto úlohu se nepodařilo úplně vyřešit nikomu. Velká část z vás si úlohu převedla na konkrétní případ (popřípadě více konkrétních příkladů typu sudá čísla budou bílá a pak nám platí, že sudé vynásobeno sudým je sudé, čili také bílé), nicméně úlohu je třeba vyřešit pro všechna taková obarvení. Tedy buď poté z konkrétních příkladů platně dokázat obecné pravidlo nebo postupovat sporem jako v následujícím řešení.

Několika z vás se podařilo vyřešit první část, ale druhou neměl správně nikdo. Nejvíce se asi přiblížil Mgr. Lukáš Belza, který se snažil ukázat obecný postup konstrukce obarvení pomocí konkrétních obarvení.

Nejdříve část a). Součin dvou bílých čísel bude také bílý. Rozdělme obarvení na dva případy – buď jsou všechna čísla bílá, nebo existuje alespoň jedno černé číslo.

Pokud jsou všechna čísla bílá, pak i násobek dvou bílých čísel bude číslo bílé. Pokud existuje alespoň jedno černé číslo (označme si ho $c$), tak řešíme sporem. Připusťme, že existuje dvojice bílých čísel $b_1$ a $b_2$ taková, že její součin je číslo černé.

Podívejme se nyní na barvu čísla $(c+b_1)\cdot b_2$. Podle pravidel obarvení je součet v závorce černé číslo, tedy celý součin bude číslo bílé. Nyní roznásobme:

\[ (c+b_1)\cdot b_2 = c\cdot b_1 + b_1\cdot b_2. \]

Ovšem první součin je číslo bílé a druhý součin číslo černé, tedy jejich součet bude podle pravidla pro součet různobarevných čísel černý. Tedy máme spor. Součin dvou bílých čísel bude tedy vždy bílý.

Nyní část b). Obarvení můžeme charakterizovat podle nejmenšího bílého čísla, protože čísla budou bílá právě tehdy, pokud jsou přirozenými násobky nejmenšího bílého čísla $b_0$.

Lehce si ověříme, že všechny násobky $b_0$ jsou bílé, protože podle podmínek obarvení součin černého a bílého čísla je bílý a podle předchozího bodu i součin dvou bílých čísel je bílý. Nyní dokážeme sporem, že žádné jiné číslo nemůže být bílé.

Připusťme, že existuje číslo $x$ takové, že je bílé a přitom není násobkem $b_0$. Označme $b_ n$ nejmenší bílé číslo větší než $x$. Poté nutně platí, že $b_ n-x < b_0$, tedy rozdíl $b_ n-x$ je číslo černé.

Potom platí, že $x+(b_ n-x)$ je součet bílého a černého čísla, tedy jedná se o číslo černé, ale zároveň $x+(b_ n-x)=b_ n$, tedy jedná se o bílé číslo a nastává spor.

Proto nemůže existovat jiné bílé číslo, než násobky $b_0$.

Petr