Seriál s: Spin (5 b)

Zadáno v čísle 22.5.

Řešeno v čísle 22.7.

Zadání

V tomto díle se od chemie přesuneme k něčemu trochu základnějšímu – ke kvantové mechanice. Nejprve ale tradičně řešení úloh z minula.

Zadání:

Urči výběrová pravidla pro amonný kationt $NH_4^\oplus $. Porovnej s výsledky pro neutrální molekulu amoniaku. Přiřazovat vibrace k délkám vazeb a úhlům mezi nimi nemusíš. (4b)

Řešení:

Začneme určením grupy symetrie amonného kationtu. Sice tušíme, co dostaneme, protože molekula má tvar tetraedru a s tím už jsme se setkali, ale na procvičení… Amonný kationt není lineární; má více hlavních os (čtyři trojčetné, $n=3$); pětičetné osy nemá; čtyři trojčetné osy má; tři čtyřčetné osy nemá; tři čtyřčetné reflexní osy má; takže mu přísluší bodová grupa symetrie $T_ d$.

Najdeme si a doplníme tabulku charakterů. Grupa $T_ d$ má ireducibilní reprezentace $A_1$, $A_2$, $E$, $T_1$ a $T_2$. Reprezentace $T_1$ a $T_2$ jsou třírozměrné, proto v posledních dvou sloupcích nacházíme třísložkové vektory. Určíme si počty atomů ležících na jednotlivých prvcích symetrie. Můžeme si pomoci obrázky z druhého čísla. V identitě leží všech pět atomů; na trojčetných osách dusík a jeden z vodíků; na dvojčetných osách pouze dusík (procházejí středy hran čtyřstěnu); stejně tak na reflexních osách, v rovinách symetrie leží atom dusíku a dva atomy vodíku. Charaktery většiny prvků grupy najdeme v minulém čísle, dopočteme jen

\[ \chi ^0\left(S_4\right)=2\cos \left(\frac{2\pi }{4}\right)-1=-1\ {\mathrm a}\ \chi ^0\left(S_4^3\right)=2\cos \left(\frac{3\cdot 2\pi }{4}\right)-1=-1\, . \]

$T_ d$

$E$

$8C_3$

$3C_2$

$6S_4$

$6\sigma _ v$

$A_1$

1

1

1

1

1

$x^2+y^2+z^2$

$A_2$

1

1

1

$-1$

$-1$

$E$

2

$-1$

2

0

0

$(2z^2-x^2-y^2, x^2-y^2)$

$T_1$

3

0

$-1$

1

$-1$

$(R_ x,R_ y,R_ z)$

$T_2$

3

0

$-1$

$-1$

1

$(x,y,z)$

$(xy, xz, yz)$

$n_ R$

5

2

1

1

3

$\chi ^0( R )$

3

0

$-1$

$-1$

1

$\chi (R)$

15

0

$-1$

$-1$

3

Pak spočteme příspěvky jednotlivých ireducibilních reprezentací ve $3N$ reprezentaci:

\begin{align*} a_1& =\frac{1}{24}\Big[1\cdot 15\cdot 1+8\cdot 0\cdot 1+3\cdot (-1)\cdot 1+6\cdot (-1)\cdot 1+6\cdot 3\cdot 1\Big]=1,\cr a_2& =\frac{1}{24}\Big[1\cdot 15\cdot 1+8\cdot 0\cdot 1+3\cdot (-1)\cdot 1+6\cdot (-1)\cdot (-1)+6\cdot 3\cdot (-1)\Big]=0,\cr e& =\frac{1}{24}\Big[1\cdot 15\cdot 2+8\cdot 0\cdot (-1)+3\cdot (-1)\cdot 2+6\cdot 0\cdot 1+6\cdot 3\cdot 0\Big]=1,\cr t_1& =\frac{1}{24}\Big[1\cdot 15\cdot 3+8\cdot 0\cdot 0+3\cdot (-1)\cdot (-1)+6\cdot (-1)\cdot 1+6\cdot 3\cdot (-1)\Big]=1,\cr t_2& =\frac{1}{24}\Big[1\cdot 15\cdot 3+8\cdot 0\cdot 0+3\cdot (-1)\cdot (-1)+6\cdot (-1)\cdot (-1)+6\cdot 3\cdot 1\Big]=3,\cr \end{align*}

Reprezentace $3N$ se tedy rozkládá jako $R^{3N}=A_1\oplus E\oplus T_1\oplus 3T_2$. Translacím přísluší trojrozměrná ireducibilní reprezentace $T_2$ a rotacím $T_1$, na vibrace tak zbývá $R^{vib}=A_1\oplus E\oplus 2T_2$. Vibrace příslušná $A_1$ je jedna, bude pozorovatelná jen Ramanovou spektroskopií a je symetrická vůči hlavní ose a zrcadlení. Reprezentaci $E$ přísluší dvě vibrace a opět budou pozorovatelné jen Ramanovou spektroskopií, o jejich symetrii nic nevíme. Reprezentaci $T_2$ přísluší šest vibrací, které budou pozorovatelné oběma spektroskopiemi a jsou antisymetrické vůči rovinám zrcadlení.

Máme tedy celkem šest přechodů v infračerveném absorpčním spektru a devět v Ramanově spektru. Pro neutrální molekulu amoniaku jsme měli v každém spektru jen čtyři přechody. Je tedy zřejmé, že tyto dvě velmi blízké molekuly od sebe dokážeme snadno odlišit.

A které že vibrace to jsou? Reprezentaci $A_1$ přísluší symetrická změna délek vazeb (Obr. 1.a). Reprezentaci $E$ patří dvě vibrace, jednak je to vibrace, kdy dvě protější dvojice atomů vodíku se k sobě přibližují, tedy zmenšuje se úhel mezi jejich vazbami na dusík (Obr. 1.b), a ve druhé se úhly okolo jedné vazby zmenšují, zatímco ostatní se zvětšují, vibrace tak připomíná otevírání a zavírání deštníku (Obr. 1.c). Reprezentaci $T_2$ patří všechny antisymetrické vibrace, můžete si je prohlédnout na obrázcích ()fig:ser:d až 1.i.

a)
b)
c)

d)
e)
f)

g)
h)
i)

Obrázek 1: Vibrace kationtu amonného. Reprezentaci $A_1$ přísluší obrázek (()fig:ser:a), reprezentaci $E$ obrázky (()fig:ser:b) a (()fig:ser:c), zbylé obrázky pak reprezentaci $T_2$.

A teď už ke dnešnímu tématu. Spin je fyzikální veličina pevně definovaná pro všechny elementární částice. Je to jejich vnitřní parametr, který řídí jejich chování. Je zcela zásadní například pro chemii nebo pro některé jevy v pevné látce (magnetismus, supravodivost). A přesto jej nelze dobře připodobnit k ničemu, co známe z makrosvěta. Existují sice nějaká znázornění spinu, vesměs jsou ale zavádějící. Zkusme se o to proto nesnažit a prostě jej přijměme jako fakt.

Každé částici je přiřazena určitá hodnota spinu a tato určuje její chování. Pokud si tedy částice rozdělíme do vhodných skupin podle toho, jak se chovají, zjistíme, že mají něco společného i hodnoty jejich spinu. Primárně částice dělíme na fermiony a bosony. Dva stejné fermiony nesmí být ve zcela identickém stavu, takže pokud mají být na stejné energetické hladině, musí mít jiný průmět spinu1. Bosonů naopak může být v identickém stavu kolik chce. Dál se liší tím, co udělá prohození dvou takovýchto částic s vlnovou funkcí systému.

Vlnová funkce je pojem kvantové mechaniky. Kvantová mechanika je fyzikální teorie založená na několika ústředních tvrzeních, postulátech, ze kterých je odvozena. Tyto postuláty nelze odnikud odvodit, prostě je předpokládáme. A protože kvantová mechanika popisuje svět velmi dobře, tak se všeobecně uznává, že předpokládáme správně. Prvním z nich je právě postulát o vlnové funkci: „Stav zkoumaného systému, popsaného sadou parametrů $p$, je v čase $t_0$ popsán vlnovou funkcí $\phi (p,t_0)$.“ Jelikož vlnová funkce v sobě musí obsahovat všechny informace o celém systému, není její „hodnotou“ číslo, ale vektor – stavový vektor $|\psi (t_0)\rangle $. Není to ale vektor jaké znáte, na kartézském prostoru. Je to vektor na prostoru všech možných vlnových funkcí systému, a bází tohoto prostoru jsou opět vhodně zvolené funkce. Vektor značíme v kvantové mechanice pomocí takzvaných bra-ketů, to jsou špičaté závorky jedním  $\langle \, \cdot \, |$ (bra-, takový vektor píšeme jako řádek) nebo druhým směrem  $|\, \cdot \, \rangle $ (-ket, takový vektor píšeme jako sloupec). Stavový vektor můžeme vynásobit libovolným komplexním číslem a stále bude popisovat stejný stav. Proto jej obvykle normujeme, tedy násobíme takovým číslem, aby měl velikost jedna. Násobky jednoho stavového vektoru sice popisují stejný stav, bylo by ale poněkud otravné, pokud by se nám působením některých operátorů tato velikost měnila. Proto i operátory často obsahují normovací konstanty.

Prohození dvou stejných bosonů $\psi (b_1,b_2,t)=\psi (b_2,b_1,t)$ neudělá nic, vlnová funkce je tedy vůči němu symetrická, naopak prohození dvou stejných fermionů $\psi (f_1,f_2,t)=-\psi (f_2,f_1,t)$ změní znaménko vlnové funkce a ta je tudíž vůči této operaci antisymetrická. Bosony mají celočíselný spin a fermiony poločíselný2.

Mezi bosony patří především intermediální bosony – to jsou částice, které zprostředkovávají nějakou interakci. Typickým příkladem je foton3. Intermediální bosony mají velikost spinu 0 nebo 1.4 Nejznámějšími fermiony jsou elektrony, protony a neutrony. Elektron patří mezi tzv. leptony5. Leptony mají spin $1/2$. Proton a neutron patří mezi baryony, tedy částice, které se skládají ze tří kvarků. Kvarky mají spin $1/2$ a jsou elementární stavební kameny pro těžší částice, nevyskytují se samostatně. Protože baryony obsahují tři kvarky, záleží, jak se v nich spiny poskládají; výsledná částice může mít spin $1/2$ nebo $3/2$. Další možnou kombinací, do které se mohou kvarky poskládat, je spojení kvarku a antikvarku. Takové částice nazýváme mezony. Mezony mohou mít spin 0 nebo 1, patří tedy mezi bosony.

V předchozích odstavcích jsme spin brali jen jako vlastnost částice, teď si ho zavedeme kvantově mechanicky. Spin jako takový je vnitřní stupeň volnosti částice. Pozorovatelné fyzikální veličiny s ním spojené jsou průměty spinu do jednotlivých směrů $s_ x$, $s_ y$ a $s_ z$ a kvadrát spinu $s^2=s_ x^2+s_ y^2+s_ z^2$. Postulát o operátorech nám říká, že každá měřitelná veličina $A$ je popsatelná operátorem $\hat{A}$, který působí na stavový vektor $\hat{A}|\psi \rangle $. Operátor lze napsat jako čtvercovou matici, která se po převrácení podél diagonály (transpozice, $\hat{A}^\mathrm{T}$) a komplexním sdružení6 všech svých prvků nezmění ($\hat{A}^{(\mathrm{T}\ast )} = \hat{A}$).7

Jak vypadá operátor spinu? Operátory průmětu spinu $1/2$ do jednotlivých směrů jsou:

\[ \hat{S_ x}=\frac\hbar 2 \sigma _ x,\quad \hat{S_ y}=\frac\hbar 2 \sigma _ y\quad {\mathrm a}\quad \hat{S_ z}=\frac\hbar 2 \sigma _ z\, , \]

kde $\hbar $ je redukovaná Planckova konstanta a $\sigma _ x$, $\sigma _ y$ a $\sigma _ z$ jsou generátory spinové grupy pro danou velikost spinu částice:

\[ \sigma _ x=\! \begin{pmatrix} {}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\! {}\, ,\quad \sigma _ y=\! \begin{pmatrix} {}0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\! {}\, ,\quad \sigma _ z=\! \begin{pmatrix} {}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\! {} \]

Operátory průmětu spinu pro částice se spinem 1 jsou:

\[ \hat{S_ x}=\frac{\hbar }{\sqrt {2}} \! \begin{pmatrix} {}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\! {}\, ,\quad \hat{S_ y}=\frac{\hbar }{\sqrt {2}} \! \begin{pmatrix} {}0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}\! {}\, ,\quad \hat{S_ z}=\hbar \! \begin{pmatrix} {}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\! {} \]

Operátor kvadrát spinu je (pro spin $1/2$):

\begin{align*} \hat{S^2}=& \, \frac{\hbar ^2}{2} \left(\sigma _ x^2+\sigma _ y^2+\sigma _ z^2 \right)=\\ =& \, \frac{\hbar ^2}{2} \left( \! \begin{pmatrix} {}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\! {} + \! \begin{pmatrix} {}0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\! {} + \! \begin{pmatrix} {}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\! {} \right)=\\ =& \frac{3\hbar ^2}2 \! \begin{pmatrix} {}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\! {} \end{align*}

Pro daný systém nelze libovolně přesně změřit všechny pozorovatelné veličiny. To, zda můžeme znát přesně nějaké dvě veličiny zároveň, nám řekne komutátor jejich operátorů. Komutátor objektů $a$ a $b$, $[a,b]$, je definován jako $[a,b]=ab-ba$. Pokud je komutátor nulový, $ab=ba$, tedy $a$ a $b$ vzájemně komutují, pak veličiny jim příslušné můžeme zároveň přesně změřit8. Komutační relace pro operátory spinu jsou

\[ \left[\hat{S_ i},\hat{S_ j}\right]=\sum _ k i\hbar \epsilon _{ijk}\hat{S_ k}\, , \]

kde $\epsilon _{ijk}=0$, pokud jsou alespoň dva koeficienty shodné, jinak $\epsilon _{ijk}=1$ nebo $-1$ podle permutace indexů. Komutátor libovolného operátoru průmětu s operátorem kvadrátu spinu je nulový.

\[ \left[\hat{S^2},\hat{S_ i}\right]=0 \]

Důsledkem tedy je, že nelze přesně změřit dva různé průměty spinu současně, maximálně průmět do jednoho směru a kvadrát.

Podle postulátu o kvantování jsou jediné měřitelné hodnoty fyzikální veličiny $A$ vlastní čísla $a_ n$ operátoru $\hat{A}$. Každému vlastnímu číslu $a_ n$ přísluší stav systému popsaný vlastním vektorem $|\psi _ n\rangle $ operátoru $\hat A$. Vlastních čísla a vektory operátoru získáme řešením rovnice:

\[ \hat A|\psi _ n\rangle =a_ n|\psi _ n\rangle \]

Spočteme si vlastní čísla a vektory operátoru $\hat S_ z$ pro spin $\frac{1}{2}$:

\[ \hat{S_ z}|\psi \rangle =s_ n |\psi \rangle \]\[ \frac\hbar 2 \! \begin{pmatrix} {}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}u \\ v \end{pmatrix}\! {}=s_ n \! \begin{pmatrix} {}u \\ v \end{pmatrix}\! {} \]

Tady zavádíme stavový vektor popisující spin jako dvousložkový vektor $(u,v)$. To proto, že průmět spinu jedné částice se spinem $-1/2$ má dva možné stavy, $+1/2$ a $-1/2$. Koeficient $u$ pak přísluší zastoupení stavu $+1/2$ a koeficient $v$ zastoupení stavu $-1/2$.

V prvním kroku převedeme všechny členy rovnice na druhou stranu.

\begin{align} \frac{\hbar }{2}\! \begin{pmatrix} {}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}u \\ v \end{pmatrix}\! {}-s_ n\! \begin{pmatrix} {}u \\ v \end{pmatrix}\! {}& =0\notag \\ \frac{\hbar }{2}\! \begin{pmatrix} {}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}u \\ v \end{pmatrix}\! {}-s_ n\! \begin{pmatrix} {}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}u \\ v \end{pmatrix}\! {}& =0\notag \\ \frac{\hbar }{2}\! \begin{pmatrix} {}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}u \\ v \end{pmatrix}\! {}-\! \begin{pmatrix} {}s_ n & 0 \\ 0 & s_ n \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}u \\ v \end{pmatrix}\! {}& =0\notag \\ \! \begin{pmatrix} {}\frac\hbar 2-s_ n & 0 \\ 0 & -\frac\hbar 2-s_ n \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}u \\ v \end{pmatrix}\! {}& =0 \label{eq:spin} \end{align}

Taková rovnice má obecně více řešení. V druhém kroku řešíme tzv. sekulární rovnici, tedy rovnici, která nám určuje, pro která $s_ n$ je původní rovnice řešitelná. V ní vystupuje determinant matice v původní rovnici.9

\[ 0=\det \! \begin{pmatrix} {}\frac\hbar 2-s_ n & 0 \\ 0 & -\frac\hbar 2-s_ n \end{pmatrix}\! {}= \left(\frac\hbar 2-s_ n \right)\left(-\frac\hbar 2-s_ n \right)-0\cdot 0=s_ n^2-\frac{\hbar ^2}{4} \]\[ \Rightarrow s_ n=\pm \frac\hbar 2 \]

Takže částice se spinem $1/2$ může mít průmět spinu $+\hbar /2$ nebo $-\hbar /2$. Obecně pro částice se spinem $s$ jsou možné hodnoty průmětu $\{ -s,-s+1,\dots ,s-1,s\} $. Každému vlastnímu číslu je přiřazen vlastní vektor a všechny jeho násobky. Najdeme je tak, že vlastní čísla dosadíme do rovnice 1.

\begin{align*} \! \begin{pmatrix} {}0 & 0 \\ 0 & -\hbar \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}u_1 \\ v_1 \end{pmatrix}\! {}& =0\, ,\cr \! \begin{pmatrix} {}0 \\ -\hbar v_1 \end{pmatrix}\! {}& =0\, ,\cr \! \begin{pmatrix} {}u_1 \\ v_1 \end{pmatrix}\! {}& =\! \begin{pmatrix} {}u_1 \\ 0 \end{pmatrix}\! {} \end{align*}
\begin{align*} \! \begin{pmatrix} {}\hbar & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}u_2 \\ v_2 \end{pmatrix}\! {}& =0\, ,\cr \! \begin{pmatrix} {}\hbar u_2 \\ 0 \end{pmatrix}\! {}& =0\, ,\cr \! \begin{pmatrix} {}u_2 \\ v_2 \end{pmatrix}\! {}& =\! \begin{pmatrix} {}0 \\ v_2 \end{pmatrix}\! {} \end{align*}

Vektory normujeme na velikost 1 a dostaneme:

\[ \! \begin{pmatrix} {}u_1 \\ v_1 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}1 \\ 0 \end{pmatrix}\! {}=\, \uparrow \, ,\quad \! \begin{pmatrix} {}u_2 \\ v_2 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}0 \\ 1 \end{pmatrix}\! {}=\, \downarrow \]

Tyto vektory jsou jednou z možných bází prostoru prostoru vlnových funkcí, popisujících spin – první z nich reprezentuje průmět spinu $+1/2$ a druhý $-1/2$.

Zmínili jsme, že $\sigma _ x$, $\sigma _ y$ a $\sigma _ z$ jsou generátory spinové grupy. Dosud jsme pracovali s konečnými maticemi a s generátorem jsme se setkali jen u cyklických grup. Tam platilo, že jakýkoli prvek $g$ grupy $G$ se dal napsat jako $\alpha $-tá „mocnina“ generátoru $X$ (ve smyslu opakovaného provedení grupové operace). Jednou z „mocnin“ byl i jednotkový prvek. U nekonečných grup se k jednotkovému prvky nikdy nedostaneme. Příkladem je grupa celých čísel s operací sčítání: Jejími generátory jsou $+1$ a $-1$, jejich opakovanou aplikací dostaneme libovolné celé číslo. Podobně generovaným spojitým grupám říkáme Lieovy grupy.

A jakouže grupu generují matice $\sigma _ x$, $\sigma _ y$ a $\sigma _ z$? Jde o grupu rotací ve spinovém prostoru $SU(2)$. Jejími prvky jsou čtvercové matice dimenze 2. Jsou unitární (odtud U ve zkratce), to znamená, že jejich determinant je v absolutní hodnotě roven jedné. Dále mají nulový součet prvků na diagonále (odtud S jako speciální). Tyto vlastnosti mají na svědomí, že matice nemění velikost vektoru, na který působí. Z těchto vlastností také plyne, že generátory této grupy musí být hermitovské matice. A hle, to je podmínka na kvantové operátory definovaná v postulátu o operátorech.

Grupa $SU(2)$ je tedy sjednocením tří „přímek“ v prostoru matic spojených s jednotlivými generátory. Pokud bychom navíc přidali i všechny lineární kombinace generátorů, získali bychom prostor. Pro něj už neplatí grupová pravidla $SU(2)$, má ale svoje. Jsou na něm definovány dvě operace: lineární kombinace a komutátor. Této struktuře říkáme Lieova algebra $SU(2)$.

Matice $\sigma _ x$, $\sigma _ y$ a $\sigma _ z$ jsou jednou z možných bází Lieovy algebry $SU(2)$. Můžeme ale najít i jiné báze. Velmi užitečné je nahradit libovolné dvě matice, typicky $\sigma _ x$ a $\sigma _ y$, jejich lineárními kombinacemi $\sigma _+=\sigma _ x+i\sigma _ y$ a $\sigma _-=\sigma _ x-i\sigma _ y$10. Podívejme se, co jednotlivé matice dělají s bázovými vektory prostoru spinů:

\begin{align*} \sigma _+=\frac\hbar 2\! \begin{pmatrix} {}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\! {}+i\frac\hbar 2\! \begin{pmatrix} {}0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\! {}=\hbar \! \begin{pmatrix} {}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\! {}\, ,\cr \sigma _-=\frac\hbar 2\! \begin{pmatrix} {}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\! {}-i\frac\hbar 2\! \begin{pmatrix} {}0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\! {}=\hbar \! \begin{pmatrix} {}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\! {}\, , \end{align*}

\begin{align*} \sigma _ x u_1 & = \! \begin{pmatrix} {}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}1 \\ 0 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}0 \\ 1 \end{pmatrix}\! {}\, ,\cr \sigma _ y u_1 & = \! \begin{pmatrix} {}0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}1 \\ 0 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}0 \\ i \end{pmatrix}\! {}\, ,\cr \sigma _ z u_1 & = \! \begin{pmatrix} {}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}1 \\ 0 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}1 \\ 0 \end{pmatrix}\! {}\, ,\cr \sigma _+ u_1 & = \! \begin{pmatrix} {}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}1 \\ 0 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}0 \\ 0 \end{pmatrix}\! {}\, ,\cr \sigma _- u_1 & = \! \begin{pmatrix} {}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}1 \\ 0 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}0 \\ 1 \end{pmatrix}\! {} \end{align*}
\begin{align*} \sigma _ x u_2 & = \! \begin{pmatrix} {}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}0 \\ 1 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}1 \\ 0 \end{pmatrix}\! {}\, ,\cr \sigma _ y u_2 & = \! \begin{pmatrix} {}0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}0 \\ 1 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}-i \\ 0 \end{pmatrix}\! {}\, ,\cr \sigma _ z u_2 & = \! \begin{pmatrix} {}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}0 \\ 1 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}0 \\ -1 \end{pmatrix}\! {}\, ,\cr \sigma _+ u_2 & = \! \begin{pmatrix} {}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}0 \\ 1 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}1 \\ 0 \end{pmatrix}\! {}\, ,\cr \sigma _- u_2 & = \! \begin{pmatrix} {}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\! {}\! \begin{pmatrix} {}0 \\ 1 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}0 \\ 0 \end{pmatrix}\! {} \end{align*}

Protože stavový prostor je v kvantové mechanice stavěn tak, že každý násobek vlastního vektoru je fyzikálně tentýž vektor, budeme v dalších výpočtech konstanty vynechávat a vektory budeme psát v jejich nejjednodušším tvaru s malými celými čísly.

Vidíme, že $\sigma _ x$, $\sigma _ y$, $\sigma _ z$ vektor otáčejí. Můžete si sami ověřit, že dvojí působení jedné matice na vektor jej vrátí zpět. Matice $\sigma _+$ a $\sigma _-$ se takto nechovají. Matice $\sigma _+$ posune průmět spinu $-1/2$ na $+1/2$, tedy nahoru ($\uparrow $), její aplikovaní na průmět spinu $+1/2$ dá nulový (neplatný) výsledek – žádný vyšší průmět spinu už není k dispozici. Matice $\sigma _-$ naopak posune průmět spinu $+1/2$ na $-1/2$, tedy dolů ($\downarrow $), a její aplikovaní na průmět spinu $-1/2$ dá nulový (neplatný) výsledek, protože žádný nižší průmět spinu už není k dispozici. Operátorům s nimi spojeným říkáme posunovací operátory. Krom samotné matice obsahují ještě normovací faktor, aby nám vždy vyšla správně velikost výsledného vektoru (jednotková).

Máme tedy popsanou jednu částici se spinem $1/2$. Teď zkusíme dvě takové částice popsat zároveň – uděláme kartézský součin jejich spinových prostorů a také jejich spinových algeber $s_1\otimes s_2$. Kartézský součin vytvoří z dvourozměrných vektorů $s=(u,v)$ čtyřrozměrné vektory, popisující spinové souřadnice první i druhé částice $s=(u_1 u_2,u_1 v_2,v_1 u_2,v_1 v_2 )$. Za bázi tohoto prostoru můžeme zvolit vektory $(1,0,0,0)$, $(0,1,0,0,)$, $(0,0,1,0)$ a $(0,0,0,1)$. Můžeme si je také zapsat podle toho, jaký spin má která částice $|\! \uparrow _1\uparrow _2\rangle $, $|\! \uparrow _1\downarrow _2\rangle $, $|\! \downarrow _1\uparrow _2\rangle $ a $|\! \downarrow _1\downarrow _2\rangle $. Potřebujeme převést i matice, které mezi spinovými vektory operují. Od takových matic chceme, aby působily na oba spiny nezávisle. Tady zaveďme $\sigma _2=(\sigma ^1 \hat1^2+\hat{1}^1 \sigma ^2 )/\sqrt {D}$, kde horní index označuje, na kterou z částic působíme, jednička žádnou změnu, odmocnina z dimenze prostoru je normovací konstanta (kterou budeme vynechávat) a dvojka v dolním indexu značí matici působící na dvojici spinů. Ukážeme si to na příkladu matice $\sigma _ y$:

\[ \sigma _ y\! \begin{pmatrix} {}u \\ v \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}-iv \\ iu \end{pmatrix}\! {}\Rightarrow \sigma _ y^1 \hat{1}^2\! \begin{pmatrix} {}u_1u_2 \\ u_1v_2 \\ v_1u_2 \\ v_1v_2 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}-iv_1u_2 \\ -iv_1v_2 \\ iu_1u_2 \\ iu_1v_2 \end{pmatrix}\! {}\, ,\quad \]\[ \hat{1}^1 \sigma _ y^2\! \begin{pmatrix} {}u_1u_2 \\ u_1v_2 \\ v_1u_2 \\ v_1v_2 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}-iu_1v_2 \\ iu_1u_2 \\ -iv_1v_2 \\ iv_1u_2 \end{pmatrix}\! {} \, ,\quad \]\[ \sigma _{2,y}\! \begin{pmatrix} {}u_1u_2 \\ u_1v_2 \\ v_1u_2 \\ v_1v_2 \end{pmatrix}\! {}=\! \begin{pmatrix} {}-iv_1u_2-iu_1v_2 \\ -iv_1v_2+iu_1u_2 \\ iu_1u_2-iv_1v_2 \\ iu_1v_2+iv_1u_2 \end{pmatrix}\! {}\Rightarrow \sigma _{2,y}=\! \begin{pmatrix} {}0 & -i & -i & 0 \\ i & 0 & 0 & -i \\ i & 0 & 0 & -i \\ 0 & i & i & 0 \end{pmatrix}\! {} \]

Vzpomeňme si na teorii reprezentací. Naše matice nemá kvazidiagonální tvar, ale vhodnou volbou báze prostoru, na který působí, tedy prostoru spinů, by mohlo být možné ji na něj převést. Ve spinovém počtu existuje technika jak takovou bázi najít, a to pomocí posunovacích operátorů. Začneme s nějakým krajním stavem, nejvyšším nebo nejnižším (všechny částice mají průmět spinu maximální, nebo všechny minimální). Na tento stav budeme působit posunovacími operátory. My si vybereme stav $(1,0,0,0)=|\! \uparrow \uparrow \rangle $. Pokud na takový stav budeme působit operátorem $\sigma _+$, dostaneme nulu, protože vyšší stav není:

\[ \sigma _+|\! \uparrow \uparrow \rangle =\left(\sigma _+^1 \hat{1}^2|\! \uparrow \uparrow \rangle +\hat{1}^1\sigma _+^2|\! \uparrow \uparrow \rangle \right)= 0|\! \uparrow \rangle +|\! \uparrow \rangle 0 =0 \]

Pokud na něj zapůsobíme operátorem $\sigma _-$, dostaneme nižší stav. Tento můžeme dále posouvat dolů, dokud nedojdeme k nule – další nižší stav už není (na konci zápis vektoru ve staré bázi).

\begin{align*} \sigma _-|\! \uparrow \uparrow \rangle & =\left(\sigma _-^1 \hat{1}^2|\! \uparrow \uparrow \rangle +\hat{1}^1\sigma _-^2|\! \uparrow \uparrow \rangle \right)= |\! \downarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle =(0,1,1,0) \, ,\cr \sigma _-\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \right) & =\left(\sigma _-^1 1^2\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \right)+1^1\sigma _-^2\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \right) \right)=\cr & =0+|\! \downarrow \downarrow \rangle +|\! \downarrow \downarrow \rangle +0=|\! \downarrow \downarrow \rangle =(0,0,0,1)\, ,\cr \sigma _-|\! \downarrow \downarrow \rangle & =\left(\sigma _-^1 1^2|\! \downarrow \downarrow \rangle +1^1\sigma _-^2|\! \downarrow \downarrow \rangle \right)= |0\downarrow \rangle +|\! \downarrow 0\rangle =0 \end{align*}

Tak jsme získali tři vektory nové báze: $|\! \uparrow \uparrow \rangle $, $\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \right)$ a $|\! \downarrow \downarrow \rangle $. Skupině bázových vektorů, které jsou mezi sebou propojeny posunovacími operátory, říkáme multiplet. V tomto případě jsme získali triplet. Ještě nám nějaký bázový vektor chybí, najdeme jej tak, že hledáme nějaký jednotkový vektor, který je kolmý na všechny předchozí. Nejjednodušší způsob, který většinou vede ke kýženému výsledku, je poupravit druhý vektor z prvního multipletu, plus vyměníme za mínus, tedy $\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \right)$. Ověříme, že je kolmý na zatím nalezené bázové vektory – jejich skalární součin je nulový.

\begin{align*} \left(|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \right)\cdot |\! \uparrow \uparrow \rangle & =(0,1,-1,0)\cdot (1,0,0,0)=0+0+0+0=0\, ,\cr \left(|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \right)\cdot \left(|\! \downarrow \uparrow \rangle +|\! \uparrow \downarrow \rangle \right) & =(0,1,-1,0)\cdot (0,1,1,0)=0+1-1+0=0\, ,\cr \left(|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \right)\cdot |\! \downarrow \downarrow \rangle & =(0,1,-1,0)\cdot (0,0,0,1)=0+0+0+0=0 \end{align*}

Ano, je to náš vektor. Pokud by nebyl, museli bychom hledat obecně jednotkový vektor kolmý na dosud nalezené. Zkusíme na něj aplikovat posouvací operátory:

\begin{align*} \sigma _-\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \right) & = \left(\sigma _-^1 \hat{1}^2\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \right)+\hat{1}^1\sigma _-^2\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \right) \right)=\cr & = 0-|\! \downarrow \downarrow \rangle +|\! \downarrow \downarrow \rangle -0=0\, ,\cr \sigma _+\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \right) & = \left(\sigma _-^1 \hat{1}^2\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\uparrow \downarrow \rangle \right)+\hat{1}^1\sigma _-^2\left(|\! \downarrow \uparrow \rangle -|\! \uparrow \downarrow \rangle \right) \right)=\cr & =|\! \uparrow \uparrow \rangle -0+0-|\! \uparrow \uparrow \rangle +0=0 \end{align*}

Vidíme, že tento vektor nejde nikam posunout, jde o singlet. Protože $3+1=4$, máme už nové bázové vektory všechny. V této bázi už mají všechny matice $\sigma $ blokový charakter, pro ukázku $\sigma _ y$.

Víme, že operátor působící na dva spiny získáme jako součet $\hat\sigma _{2,y}(\hat\sigma ^1\hat1^+\hat1^1\hat\sigma ^2).$ Dále víme, že:

\[ \sigma _ y\left(\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} -iv \\ iu \end{matrix}\right) \]

Takže $u$ nahrazujeme $-iv$ a $v$ nahrazujeme $iu$.

\begin{align*} \hat\sigma _{2,y}\! \begin{pmatrix} {}u_1u_2 \\ u_1v_2+v_1u_2 \\ v_1v_2 \\ u_1v_2-v_1u_2 \end{pmatrix}\! {} & =(\hat\sigma ^1\hat1^2+\hat1^1\hat\sigma ^2)\! \begin{pmatrix} {}u_1u_2 \\ u_1v_2+v_1u_2 \\ v_1v_2 \\ u_1v_2-v_1u_2 \end{pmatrix}\! {}=\cr & = \! \begin{pmatrix} {}-iv_1u_2 \\ -iv_1v_2+iu_1u_2 \\ iu_1v_2 \\ -iv_1v_2-iu_1u_2 \end{pmatrix}\! {}+\! \begin{pmatrix} {}-iu_1v_2 \\ +iu_1u_2-iv_1v_2 \\ iv_1u_2 \\ iu_1u_2+iv_1v_2 \end{pmatrix}\! {}=\cr & = \! \begin{pmatrix} {}-i(u_1v_2+v_1u_2) \\ 2i(u_1u_2-v_1v_2) \\ i(u_1v_2+v_1u_2) \\ 0 \end{pmatrix}\! {} \end{align*}

Z toho už vidíme tvar matice $\sigma _ y$:

\[ \sigma _ y=\! \begin{pmatrix} {} 0 & -i & 0 & 0 \\ 2i & 0 & -2i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\! {} \]

Vidíme, že má kvazidiagonální tvar. Převedení ostatních matic do tohoto tvaru si můžete ověřit sami. Podařilo se nám tedy tuto reprezentaci rozdělit na dvě, jednu třídimenzionální $T$ a jednu jednodimenzionální $S$: $2\otimes 2=S\oplus T$. Reprezentace spinové grupy má tolik dimenzí, kolik má operátor projekce spinu do libovolného směru možných vlastních čísel. Tady vidíme, že pro dva elektrony jsou čtyři možné stavy rozdělené jako $3+1$, a to skutečně má svůj fyzikální význam. Sloučením dvou elektronů nám může vzniknout singletní stav $S$, který má spin 0, nebo tripletní stav $T$ se spinem 1. Singletní stav může mít průmět spinu do libovolného stavu jenom 0, tripletní 1, 0 nebo $-1$. Singlet a triplet mezi sebou mohou jen omezeně přecházet, jsou velmi stabilní.11

V elektronových obalech atomů a molekul skutečně pozorujeme rozlišitelné multipletní stavy (míru spárování elektronů) a omezeně mezi nimi jde přecházet tak, že se orbitaly a elektrony přeskládají. Pro většinu atomů a molekul se sudým počtem elektronů má singletní stav nejnižší energii, proto běžně pozorujeme u molekul nulový spin, jsou ale výjimky. Jednou z nich je molekula kyslíku, která je v základním stavu tripletní. Atomy či molekuly s lichým počtem elektronů (typicky jedním nespárovaným elektronem), radikály, pak mají spin poločíselný.

Tohle skládání samozřejmě platí pro všechny částice se spinem $1/2$. Pokud skládáme mezony z kvarků, můžeme také získat tripletní i singletní částice. Nazývají se vektorové a skalární. Například mezon složený z kvarků up a anti-down se značí $\pi ^+$ pokud je singletní, neboli skalární, a $\varrho ^+$ pokud je tripletní, neboli vektorový. Tyto dvě částice je možné rozlišit.


1) Spin je vektorová veličina, to znamená, že má i nějaký směr. Tento směr ale neznáme. Jediné, co můžeme zjistit, je průmět spinu do nějakého směru. To uděláme tak, že v tomto směru aplikujeme magnetické pole. V interakci s polem se uplatní jen složka v jeho směru.

2) Poločíselná hodnota se dá napsat jako $(2n-1)/2$, kde $n$ je celé číslo.

3) Dále máme ještě gluony, W a Z bosony, Gibbsův boson a možná graviton – pokud skutečně existuje.

4) Nulový spin má jen Higgsův boson, ostatní známé intermediální bosony mají spin 1

5) Leptony: elektron, mion a tauon a jim příslušná neutrina

6) Prvek $a + bi$ se změní na $a -bi$, kde $a, b \in \mathbb {R}$ a $i$ je komplexní jednotka; značíme $\hat{A}^\ast $

7) Říkáme, že je hermitovská, $\hat{A}^{(\mathrm{T}\ast )}$ značíme $\hat{A}^\dagger $.

8) Nejznámějším příkladem komutačních relací jsou Heisenbergovy relace neurčitosti mezi polohou a hybností.

9) Determinant je součet součinů všech takových permutací prvků matice, kde bereme vždy z každého řádku i sloupce právě jeden prvek. Každý sčítanec má navíc před sebou faktor $+1$ nebo $-1$ podle toho, jestli permutace prvků je sudá nebo lichá. Obecný postup výpočtu determinantu najdete na . Pro matice $2\times 2$ je roven $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$, pro matici $3\times 3$ pak $a_{11}a_{22}a_{33} + a_{13}a_{21}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$.

10) Tento výběr vede sice ke stejnému výsledku, jako jakýkoli jiný, ale nejkratší cestou.

11) Takový přechod je zakázaný, takže k němu dochází s malou pravděpodobností, jak jsme si už říkali u výběrových pravidel.

5.5 Teorie grup IV (5b)

Zpracuj dvojici částic se spinem 1. To znamená:

  1. Najdi vlastní čísla a vlastní vektory operátoru $\hat{S_ z}$ (1b)

  2. Napiš posunovací operátory pro spin 1. (1b)

  3. Najdi bázi, pro kterou budou mít matice operátorů kvazidiagonální tvar, a popiš, co je výsledkem. (1,5b)

  4. Ukaž, že matice alespoň dvou operátorů jsou v této bázi skutečně kvazidiagonální. (1,5b)