Úloha 5.u3: Rozklad funkce (4 b)

Zadáno v čísle 22.5.

Řešeno v čísle 22.7.

Zadání

Nechť $f$ je funkce definovaná na celé reálné přímce. Je známo, že se pak dá zapsat jako součet dvou funkcí, z nichž jedna je sudá (má graf symetrický podle osy $y$) a druhá je lichá (má graf středově symetrický podle počátku). Dá se funkce $f$ zapsat jako součet dvou funkcí, z nichž každá má graf osově symetrický podle nějaké (ne nutně stejné) přímky?

Řešení

Každou funkci $f$ skutečně můžeme zapsat jako součet dvou funkcí $f_1$ a $f_2$, z nichž jedna je symetrická podle osy $y$ (tedy sudá) a druhá je symetrická podle přímky $y=a$ (přímky rovnoběžné s osou $y$ ve vzdálenosti $a$). Obě funkce budeme konstruovat postupně na intervalech

\[ [-a, a], [a, 3a], [-3a, -a], [3a, 5a], \dots , [-2n-1, -2n+1], [2n-1, 2n+1], \dots \]

Zvolíme $f_1(x)=0$ pro všechna $x$$[-a, a]$. Funkci $f_2$ na tomto intervalu zvolíme jako $f_2(x)=f(x)-f_1(x)=f(x)$ tak, aby platila rovnost $f_1(x)+f_2(x)=f(x)$.

Funkci $f_2(x)$ definujeme na intervalu $[a, 3a]$ tak, aby byl její graf symetrický podle osy $y=a$, tedy položíme $f_2(x)=f_2(2a-x)$. Tato definice je korektní, protože pro všechna $x$$[a, 3a]$ leží $2a-x$$[-a, a]$, na kterém již hodnotu funkce $f_2$ známe. Funkci $f_1$ na $[a, 3a]$ zvolíme jako $f_1(x)=f(x)-f_2(x)$.

Nyní pokračujeme na druhé straně osy $y$, konkrétně na intervalu $[-3a, -a]$. Tam definujeme funkci $f_1$ tak, aby byla symetrická podle osy $y$, tj. jako $f_1(x)=f_1(-x)$, a $f_2$ definujeme jako $f_2(x)=f(x) - f_1(x)$. Pokračujeme stejným způsobem na intervalu $[3a, 5a]$ (definujeme opět $f_2$, aby byla symetrická podle osy $y=a$) atd., až jsou funkce $f_1$ a $f_2$ definované na celé reálné přímce.

Na Obrázku 1 jsou znázorněny funkce $f_1$ (čárkovaně) a $f_2$ (tečkovaně) pro funkci $f(x)=x$.

Obrázek 1: Rozklad funkce $f(x) = x$ na funkci $f_1$ symetrickou podle osy $y$ a funkci $f_2$ symetrickou podle přímky $y = a$.

Poznámka: Místo počáteční volby $f_1(x)=0$ na intervalu $[-a,a]$ bychom mohli zvolit jakoukoli sudou funkci a dál pokračovat obdobně. Rozklad proto není jednoznačný.

Pepa