Úloha 5.u2: Neposedný míček (4 b)

Zadáno v čísle 22.5.

Řešeno v čísle 22.7.

Zadání

V homogenním gravitačním poli máme svislou pružinku s tuhostí $k$, na které je upevněna miska o hmotnosti $m_1$. Na misku, která je v klidu v rovnovážné poloze, hodíme míček o hmotnosti $m_2$. Z jaké výšky ho musíme pustit, aby se po odskoku a rozkývání misky na ni vrátil v okamžiku, kdy prochází miska rovnovážnou polohou směrem nahoru? Jak vysoko poté vyskočí? Jaké musí být podmínky pro hmotnosti $m_1$ a $m_2$? Uvažujte, že všechny srážky jsou dokonale pružné a trvají zanedbatelně krátkou dobu.

Řešení

Nejdříve si podrobně rozebereme situaci. Po puštění míčku na misku z výšky $h_0$ dopadne míček s rychlostí $v_2$ na nehybnou misku ($v_1=0$). V tomto případě můžeme předpokládat, že se při odrazu zachovávají součty hybnosti a energie míčku a misky. Miska se rozpohybuje rychlostí $u_1$ a míček se odrazí rychlostí $u_2$ (uvažujeme kladné znaménko rychlosti směrem dolů. Poté začne miska kmitat kolem rovnovážné polohy. Pokud se míček odrazí nahoru, po jisté chvíli se vrátí na misku, která by měla procházet rovnovážnou polohou. V tomto okamžiku má míček rychlost stejnou jako po odrazu, akorát míří opačným směrem. Pro rychlost misky platí totéž.

Rychlosti $u_1$ a $u_2$ spočítáme pomocí zákonů zachování energie a hybnosti:

\begin{align*} \frac{1}{2} m_2 v_2^2 & = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2\\ m_2 v_2 & = m_1 u_1 + m_2 u_2. \end{align*}

Rovnice upravíme:

\begin{align*} v_2^2 & = \frac{m_1}{m_2} u_1^2 + u_2^2\\ v_2 & = \frac{m_1}{m_2} u_1 + u_2. \end{align*}

Z druhé rovnice vyjádříme $u_2$ a dosadíme do první:

\[ v_2^2 = \frac{m_1}{m_2} u_1^2 + v_2^2 - 2 \frac{m_1}{m_2} u_1 v_2 + \frac{m_1^2}{m_2^2} u_1^2. \]

Po úpravách získáme

\[ u_1 = v_2 \frac{2m_2}{m_1+m_2}, \]

a po vyjádření $u_2$ dostaneme

\[ u_2 = v_2 \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}. \]

Aby se míček po odskoku pohyboval nahoru, musí být rychlost $u_2$ záporná, a tedy $m_2. Pro rychlost míčku platí $u(t) = u_2 + g t$. Čas, za který bude mít jeho rychlost hodnotu $-u_2$, je tedy

\[ t = -\frac{2u_2}{g}. \]

(Tento čas je kladný, protože je $u_2$ záporná.) Po dosazení za $u_2$ získáme

\[ t = \frac{2v_2}{g} \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}. \]

Když míček pouštíme z klidu z výšky $h_0$, bude mít při nárazu rychlost $v_2 = \sqrt {2 g h_0}$. Výsledný čas tedy je

\[ t = 2\sqrt {\frac{2 h_0}{g}} \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}. \]

Zároveň se čas $t$ musí rovnat době, za kterou se miska dostane zpět do rovnovážné polohy a bude se pohybovat směrem nahoru. To bude za lichý násobek půlperiod:

\[ t = \pi \sqrt {\frac{m_1}{k}} (2n-1), \]

kde $n=1, 2, 3, \ldots $ Porovnáním časů a vyjádřením získáme výšku $h_0$:

\[ h_0 = \frac{\pi ^2 g m_1 (2n+1)^2}{8k} \left(\frac{m_1+m_2}{m_1-m_2}\right)^{\! 2}. \]

Nyní nám zbývá vyřešit, do jaké výšky se míček odrazí po druhém odrazu. K tomu nám pomůže zajímavý fyzikální náhled. Při druhé srážce má miska rychlost $-u_1$ a míček $-u_2$. V mechanice platí symetrie vůči zrcadlení času: Pokud obrátíme směr času, fyzikální zákony budou stejné. Pokud obrátíme čas u první srážky, rychlost dopadající misky bude $-u_1$ a dopadajícího míčku $-u_2$. Rychlost odražené misky bude nulová a rychlost odraženého míčku bude $-v_2$. Díky tomu víme, že rychlost odraženého míčku při druhé srážce je $-v_2$. S touto rychlostí míček vystoupá do výšky $h_0$.

Viktor