Úloha 4.u2: Kruhový bazén (3 b)

Zadáno v čísle 22.4.

Řešeno v čísle 22.6.

Zadání

Máme zapuštěný bazén kruhového půdorysu o poloměru $R$ (index lomu vody $n_2$, index lomu vzduchu $n_1$). Do jaké maximální hloubky se může potopit plavec, aby ve světelném kruhu nad sebou teoreticky viděl celý prostor nad hladinou? (Uvažujme zcela rovnou vodní hladinu.)

Řešení

Vzhledem k symetrii bazénu platí, že aby byla hloubka potopení maximální, měl by se plavec nacházet uprostřed bazénu. Celý prostor nad hladinou bude teoreticky vidět, pokud existuje takový paprsek směřující od plavce k hladině, že se na rozhraní optických prostředí voda/vzduch láme pod úhlem 90$^\circ $ – nazveme jej mezní paprsek. Pro lepší představu umístíme plavce na hladinu doprostřed bazénu a budeme ho potápět, hledané maximální hloubky potopení dosáhne v okamžiku, kdy se mezní paprsek bude lámat právě na okraji bazénu. Situace je znázorněna na obrázku 1.

Obrázek 1: Bazén

Nyní stačí vhodně zformulovat Snellův zákon pro naši úlohu, tedy

\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{n_1}{n_2}, \]

kde $\sin \beta =1$ a $n_2, n_1$ jsou indexy lomu vody a vzduchu. Užitím Pythagorovy věty dostaneme

\[ \sin \alpha =\frac{R}{\sqrt {h^2+R^2}}=\frac{n_1}{n_2}, \]

nyní stačí ekvivalentními úpravami vyjádřit hloubku $h$ a dostaneme

\[ h=R\cdot \sqrt {\left( \frac{n_2}{n_1} \right) ^2-1}. \]

Pokud uvážíme skutečné hodnoty indexů lomu pro vzduch přibližně $n_1\doteq 1{,}00$ a vody $n_2\doteq 1{,}33$, dostaneme přibližnou hodnotu hloubky maximálního potopení $h\doteq 0{,}88R$.

Dominigga