Seriál s: Teorie reprezentací (6 b)

Zadáno v čísle 22.3.

Řešeno v čísle 22.5.

Zadání

V minulém díle jsme slíbili, že se zmíníme o řešení rovnic, ale nejdřív se podíváme na řešení úloh…

  1. Uveď nějakou další množinu, která může vytvořit grupu s operací sčítání.

  2. Řešení:
  3. Se sčítáním jako grupa funguje například množina všech racionálních ($\mathbb {Q}$), reálných ($\mathbb {R}$) a komplexních čísel ($\mathbb {C}$), kvaterniony1 ($\mathbb {H}$) nebo množiny všech matic stejného tvaru (např. množina všech matic $2\times 3$).
  4. Vymysli si nějakou grupu a ukaž, že je to grupa.

  5. Nejoriginálnější grupa bude zveřejněna v příštím čísle.
  6. Sestav grupu všech symetrií desky tvaru rovnostranného trojúhelníku a analyzuj ji.

  7. Řešení:
  8. Rovnostranný trojúhelník má hned několik prvků symetrie: trojčetnou osu procházející těžištěm $c_3$, horizontální rovinu symetrie v rovině trojúhelníka $\sigma _ h$ a tři vertikální roviny procházející težištěm a jedním z vrcholů $\sigma _ A$, $\sigma _ B$ a $\sigma _ C$, dál ještě tři dvojčetné osy procházející vrcholem a středem protilehlé strany $c_ A$, $c_ B$ a $c_ C$. Grupa těchto prvků se značí $\mathrm{D_{3h}}$. Není komutativní. Tabulka 1 popisuje násobení v této grupě.

Symetrie geometrická je jen jedním z mnoha příkladů symetrie, které může teorie grup popisovat. Symetrie je jev, kdy aplikujeme na nějaký objekt nějakou operaci a tento objekt tím nezměníme, tj. objekt je vůči této operaci invariantní, neboli neměnný. Existuje množství situací, kdy můžeme abstraktní symetrii vhodným znázorněním převést na symetrii geometrickou. Takovým příkladem je parita funkcí.

$e$

$c_3$

$c_3^2$

$s_3$

$s_3^2$

$\sigma _ h$

$\sigma _ A$

$\sigma _ B$

$\sigma _ C$

$c_ A$

$c_ B$

$c_ C$

$e$

$e$

$c_3$

$c_3^2$

$s_3$

$s_3^2$

$\sigma _ h$

$\sigma _ A$

$\sigma _ B$

$\sigma _ C$

$c_ A$

$c_ B$

$c_ C$

$c_3$

$c_3$

$c_3^2$

$e$

$s_3^2$

$\sigma _ h$

$s_3$

$\sigma _ C$

$\sigma _ A$

$\sigma _ B$

$c_ C$

$c_ A$

$c_ B$

$c_3^2$

$c_3^2$

$e$

$c_3$

$\sigma _ h$

$s_3$

$s_3^2$

$\sigma _ B$

$\sigma _ C$

$\sigma _ A$

$c_ B$

$c_ C$

$c_ A$

$s_3$

$s_3$

$s_3^2$

$\sigma _ h$

$c_3^2$

$e$

$c_3$

$c_ C$

$c_ A$

$c_ B$

$\sigma _ C$

$\sigma _ A$

$\sigma _ B$

$s_3^2$

$s_3^2$

$\sigma _ h$

$s_3$

$e$

$c_3$

$c_3^2$

$c_ B$

$c_ C$

$c_ A$

$\sigma _ B$

$\sigma _ C$

$\sigma _ A$

$\sigma _ h$

$\sigma _ h$

$s_3$

$s_3^2$

$c_3$

$c_3^2$

$e$

$c_ A$

$c_ B$

$c_ C$

$\sigma _ A$

$\sigma _ B$

$\sigma _ C$

$\sigma _ A$

$\sigma _ A$

$\sigma _ B$

$\sigma _ C$

$c_ B$

$c_ C$

$c_ A$

$e$

$c_3^2$

$c_3$

$\sigma _ h$

$s_3$

$s_3^2$

$\sigma _ B$

$\sigma _ B$

$\sigma _ C$

$\sigma _ A$

$c_ C$

$c_ A$

$c_ B$

$c_3$

$e$

$c_3^2$

$s_3^2$

$\sigma _ h$

$s_3$

$\sigma _ C$

$\sigma _ C$

$\sigma _ A$

$\sigma _ B$

$c_ A$

$c_ B$

$c_ C$

$c_3^2$

$c_3$

$e$

$s_3$

$s_3^2$

$\sigma _ h$

$c_ A$

$c_ A$

$c_ B$

$c_ C$

$\sigma _ B$

$\sigma _ C$

$\sigma _ A$

$\sigma _ h$

$s_3^2$

$s_3$

$e$

$c_3$

$c_3^2$

$c_ B$

$c_ B$

$c_ C$

$c_ A$

$\sigma _ C$

$\sigma _ A$

$\sigma _ B$

$s_3$

$\sigma _ h$

$s_3^2$

$c_3^2$

$e$

$c_3$

$c_ C$

$c_ C$

$c_ A$

$c_ B$

$\sigma _ A$

$\sigma _ B$

$\sigma _ C$

$s_3^2$

$s_3$

$\sigma _ h$

$c_3$

$c_3^2$

$e$

Obrázek 1: Multiplikativní tabulka grupy symetrií rovnostranného trojúhelníku.

Existují funkce liché a sudé (je ale mnoho funkcí, které nejsou ani liché ani sudé). Funkce je lichá, pokud $\forall x\in \mathbb {R}: f(x)=-f(-x)$ (její graf je symetrický podle počátku souřadnic); funkce je sudá, pokud $\forall x\in \mathbb {R}: f(x)=f(-x)$ (její graf je symetrický podle osy $y$). Parita ve své podstatě vyjadřuje, co se stane, když prohodíme znaménko u proměnné, geometrická symetrie jejich grafů je jen důsledek.

Zajímavé symetrie vykazují i polynomiální rovnice. Polynomiální rovnice je rovnice ve tvaru

\[ x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0x^0=0. \]

Koeficient u členu nejvyššího řádu budeme vždy pokládat roven jedné, protože na tento tvar lze každou rovnici převést vynásobením číslem. Nejjednodušší je rovnice lineární $x+a_0=0$, má jediný kořen2, a to $x_1=-a_0$. Každá vyšší polynomiální rovnice se dá zapsat jako součin lineárních výrazů

\[ (x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_ n) = 0 \]

kde $x_1$$x_ n$ jsou kořeny této rovnice (obecně komplexní). Polynomiální rovnice jsou tedy symetrické vůči libovolné permutaci kořenů. Mimochodem, grupa permutací kořenů kubické rovnice (obecně permutací tří čísel) je isomorfní s grupou symetrie rovnostranného trojúhelníku v rovině, kterou jste zkoumali v posledním úkolu. Ve všech kontextech, tedy i tady, se tato grupa značí $\mathrm{D_{3h}}$.

Krom toho existují i další zajímavé algebraické výrazy či rovnice s těmito rovnicemi spojené, které také vykazují určité symetrie. Pro kvadratickou rovnici to jsou Viètovy vztahy:

\[ b=-x_1-x_2\, , c=x_1x_2\, . \]

Můžete si je snadno odvodit roznásobením $(x-x_1)(x-x_2)$ a porovnáním se standardním tvarem kvadratické rovnice $x^2+bx+c=0$. I tyto výrazy jsou invariantní vůči prohození kořenů. Pro kubickou rovnici existují invariantní výrazy

\[ \alpha =\left(\frac{x_1+x_2j+x_3j^3}{3}\right)^3 \ \mathrm{a}\ \beta =\left(\frac{x_1+x_2j^2+x_3j}{3}\right)^3\, , \]

kde $j = {1\over 4}\left(1+i\sqrt {3}\right)$ je komplexní číslo, pro které platí $\left|j^3\right|=1$ a $j^2+j+1=0$. Invarianty $\alpha $ a $\beta $ se dají získat kombinací koeficientů rovnice a z nich se dál dají odvodit vzorce pro kořeny kubické rovnice. Pro rovnice vyšších řádů už takové invariantní výrazy, které by se daly dál použít k jejich řešení, nejsou. Avšak vlastnosti permutací jejich kořenů o nich leccos zajímavého vypovídají – především to, zda jsou rovnice řešitelné.

Některé rovnice vyšších řádů řešit dovedeme. Takovým příkladem je rovnice $x^6+3x^4+3x^2+1=0$. Na první pohled je vidět, že obsahuje pouze členy sudých řádů, takže můžeme použít substituci $t=x^2$ a dospějeme k rovnici kubické. U rovnice $x^6-6x^5+18x^4-32x^3+36x^2-24x+8=0$ si hned rady nevíme. Řešitelná ale je, protože ji z předchozí rovnice dostaneme substitucí $t=x-1$. To se projeví na symetrii dané rovnice. Právě podle těchto symetrií se dají rovnice přiřadit k nějaké Galoisově grupě3. Grup různých permutací kořenů rovnic není mnoho a jsou dobře popsány, takže je možné spočítat, jestli k některé z nich přísluší naše rovnice, a tak zjistit, jestli je řešitelná. To samo o sobě není jednoduchý úkol a ke skutečnému řešení rovnice často neexistuje jednoduchý postup. Proto řešení polynomiálních rovnic ponecháme na úrovni zmínky.

Teď přidáme několik dalších pojmů, které se nám později budou hodit. Prvním je řád grupy $G$, což je jen počet jejích prvků, pokud je konečná. Lze zavést také řád prvku $n$, což je nejmenší $n$, pro které pro prvek $a$ platí $a^ n=e$. Řád prvku ale nelze zavést vždy, u nekonečných grup (např. $(\mathbb {Z},+)$) se k jednotkovému prvku mocněním některých prvků nikdy nedostaneme. Pro $C_2$, tedy grupu rotací kolem dvojčetné osy či grupu $(\{ 0,1\} ,+\! \! \mod \, 2)$, je řád grupy 2 a stejný je i řád jejího prvku $c_2$, protože $c_2^2=e$. Řád identity je vždy jedna.

Zavedem si další termín, podgrupa. To je podmnožina grupy, která sama splňuje axiomy grupy. Grupy, které neobsahují žádné podgrupy krom samotné identity a sebe sama, nazýváme jednoduché (většinou se ale pod pojmem jednoduchá grupa myslí taková grupa, která neobsahuje žádné podgrupy, které jsou zároveň celými třídami – viz níže). Např. grupa $\mathrm{C_3}$ je jednoduchá, je řádu tři, stejně jako její prvky $c_3$ a $c_3^2$. Grupa $\mathrm{T_ d}$ má ale hned několik podgrup: čtyři podgrupy typu $\mathrm{C_3}$, tři podgrupy $\mathrm{C_2}$ a šest pogrup spojených se zrcadlením představuje ty jednoduché; složenou podgrupou je třeba grupa dvoj- a trojčetných rotací čtyřstěnu. Podgrupy najdeme tak, že odstraňujeme z grupy různé skupiny prvků (zakrýváme příslušné řádky a sloupce v multiplikační tabulce) a sledujeme, jestli je výsledná grupa stále uzavřená (jestli nám odstraněné prvky v tabulce někde nezůstaly).

Když se zamyslíme nad definicí řádu prvku $a$, zjistíme, že je to vlastně řád cyklické podgrupy $\left ={a,a^2,...a^{n-1}}$ grupy $G$ generované prvkem $a$. Každý prvek grupy je tedy „zabalený“ do nějaké cyklické podgrupy a řád prvku je přesně řád této podgrupy. Můžeme si položit otázku, které další prvky grupy $\left$ generují celou grupu $\left$, neboli mají stejný řád. Rozmysli si, že jsou to právě ty mocniny $a^ k$, že $k$ je nesoudělné s $n$. Pokud je $n$ prvočíslo, znamená to, že všechny prvky cyklické grupy až na identitu mají stejný řád. Co když $n$ není prvočíslo? To je snadno vidět na čtyřčetné ose:

\[ c_4^4=e\, ,\quad c_4^2=c_2\, ,\quad c_2^2=e \]

Stejně tak to platí pro grupy reflexních rotací4 $S_ n$; reflexní rotace $s_ n$ jsme potkali v grupě $\mathrm{T_ d}$.

Třída konjugace (dále jen třída) je tvořená prvky, které jsou navzájem konjugované (to znamená, že pro každé dva prvky třídy $a$, $b$ najdeme v grupě prvek $g$, aby platilo $a=g\bullet b\bullet g^{-1}$) a jsou všechny určeny jedním libovolným prvkem třídy. Prvky z jedné třídy se vyznačují tím, že mají stejný řád (protože při výpočtu řádu prvku z jeho maticového zápisu, který si ukážeme za chvíli, můžeš pod operací stopy, vedoucí právě k hodnotě řádu, násobené prvky grupy libovolně prohazovat, a tak $g$ a $g^{-1}$ dostat vedle sebe a odstranit). Grupa je sjednocením tříd prvků, přičemž tyto třídy jsou navzájem disjunktní. Třídy obecně obsahují různé počty prvků, přičemž počet prvků třídy je dělitelem řádu grupy.

Pokud chceme hledat třídy grupy, musíme si nejprve ujasnit, které prvky jsou spolu konjugované. Zkusme to pro grupu $\mathrm{T_ d}$ (grupa symetrie čtyřstěnu). Vezměme si třeba její prvek $s_{(AB,CD)}$ a najděme, s jakými všemi prvky je konjugovaný, a to tak, že vypočteme $g\bullet s_{(AB,CD)}\bullet g^{-1}$ pro všechny prvky $g$ naší grupy:

\[ \begin{array}{ccccc} e\bullet s_{(AB,CD)}\bullet e& =& s_{(AB,CD)}\bullet e& =& s_{(AB,CD)}\\ c_ A\bullet s_{(AB,CD)}\bullet c_ A^{2}& =& s_{(AC,BD)}\bullet c_ A^{2}& =& s_{(AD,BC)}\\ c_ A^2\bullet s_{(AB,CD)}\bullet c_ A& =& \sigma _{BC}\bullet c_ A& =& s_{(AC,BD)}^3\\ & \vdots & & & \end{array} \]

Vidíme, že $s_{(AB,CD)}$ je konjugovaný se všemi reflexními rotacemi v grupě. Protože platí, že pokud je $a$ konjugováno s $b$ i s $c$, potom $b$ je konjugováno s $c$, můžeme říci, že všechny reflexní rotace v této grupě jsou konjugované. Podobně zjistíme, že rotace $c_ A$ je konjugovaná se všemi trojčetnými rotacemi:

\[ \begin{array}{ccccc} e\bullet c_ A\bullet e& =& c_ A\bullet e& =& c_ A\\ c_ A\bullet c_ A\bullet c_ A^2& =& c_ A^2\bullet c_ A^2& =& c_ A\\ c_ A^2\bullet c_ A\bullet c_ A& =& e\bullet c_ A& =& c_ A\\ & \vdots & & & \end{array} \]

Dalšími skupinami konjugovaných prvků jsou všechna zrcadlení, dvojčetné rotace a samotná identita.

K určení tříd nám dál pomůže znalost řádů prvků. Víme, že řád identity je jedna a žádný další prvek s řádem jedna nemůže existovat. Identita tedy vždy sama tvoří třídu. Trojčetné rotace mají řád tři a také tvoří třídu. Dalšími množinami konjugovaných prvků, a zároveň třídami, jsou dvojčetné rotace s řádem 2, zrcadlení s řádem 2 a reflexní osy s řádem 4. Počty prvků těchto tříd jsou postupně 1, 8, 3, 6 a 6 – což jsou všechno dělitelé čísla 24, tedy řádu grupy.

U abstraktnějších grup narážíme na problém, jak s jejími prvky zacházet. Potřebujeme je nějak zapsat a nějak s nimi operovat. Proto k těmto grupám přiřazujeme reprezentace $R$. Reprezentace grupy je nějaká grupa matematicky snadno zvládatelných objektů, typicky čtvercových matic, která je s původní grupou isomorfní.

Matice

V případě, že nevíš, jak se pracuje s maticemi, jsou pro tebe určeny následující odstavce. Pokud s maticemi pracovat umíš, můžeš je přeskočit.

Matice $A$ v obecném smyslu je jakákoli tabulka $m\times n$ nějakých prvků $a_{m,n}$. Může a nemusí být čtvercová ($m=n$), může to být sloupcový ($m=1$) nebo řádkový ($n=1$) vektor, nebo i obyčejné číslo ($m=n=1$). Matice jsou definovány na nějakém vektorovém prostoru, tj. na množině vektorů, která splňuje grupová pravidla (s operací sčítání), a navíc vektor zůstává ve vektorovém prostoru i po vynásobení číslem (pro jednoduchost budeme uvažovat reálná čísla, ale obecně si můžeme zvolit i jinou množinu prvků, splňující určitá pravidla, vlastně i výraz číslo je jisté zjednodušení…)

Když dostaneme vektorový prostor, nejdříve si zvolíme nějakou jeho bázi. Báze je množina lineárně nezávislých vektorů (žádný z nich nejde z těch ostatních získat lineární kombinací, tj. sčítáním a násobením číslem), přičemž každý vektor prostoru se dá zapsat jako lineární kombinace vektorů báze. Takže si vlastně zvolíme souřadné osy. Možná ze zeměpisu nebo z matematiky víš, že bod v prostoru lze popsat nejen souřadnicemi kartézskými $(x,y,z)$, ale i polárními 5 $(r,\phi ,z)$ nebo sférickými 6 $(r,\phi ,\theta )$. Možných bází je ale nekonečně mnoho, např. v krystalografii se občas používá souřadný systém os $(x,y,z)$, kde na sebe ale osy nejsou kolmé, ve spektroskopii se používá báze definovaná délkami vazeb v molekule a úhly mezi nimi a v kvantové mechanice se pracuje na vektorovém prostoru funkcí, kde za bázi se za určitých podmínek dají zvolit např. siny a kosiny7.

Základními operacemi mezi maticemi jsou sčítání a maticový skalární součin. My budeme jako grupovou operaci na konečných grupách používat maticový skalární součin. K tomu, aby bylo možné matice vynásobit, musí být počet sloupců první matice $A$ stejný jako počet řádků druhé matice $B$, matice se pak násobí systémem řádek krát sloupec, tedy vezmeme $k$-tý řádek matice $A$ a $l$-tý sloupec matice $B$ a sečteme čísla vzniklá vynásobením čísel na stejných pozicích takto vzniklých vektorů $c_{m,n}=a_{m,1}b_{1,n}+a_{m,2}b_{2,n}+\cdots $. Nejjednodušším příkladem, krom násobení obyčejných čísel, je skalární násobení vektorů:

\[ \left(\begin{matrix} a & b \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}\right)=ac+bd \]

Násobení dvou matic vypadá takto

\[ \left(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} g & h \\ i & j \\ k & l \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} ag+bi+ck & ah+bj+cl \\ dg+ei+fk & dh+ej+fl \end{matrix}\right)\, . \]

Dalším speciálním příkladem je násobení vektoru maticí

\[ \left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} e \\ f \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} ae+bf \\ ce+df \end{matrix}\right)\, . \]

Matice a grupy

Vezměme si například grupu $C_2$ – grupu rotací kolem dvojčetné osy, např. osy $x$. Tato grupa má prvky $e$ a $c_ x$. Nejprve si zvolíme vektorový prostor, ve kterém problém řešíme: jsme-li v rovině, pracujeme s maticemi $2\times 2$, v prostoru s maticemi $3\times 3$, v prostoru o dimenzi 15 s maticemi $15\times 15$, atd. Vždy navíc musíme zvolit, se kterými bázovými vektory budeme pracovat, tj. jak si zvolíme souřadné osy.

Prvek $e$ je vždy reprezentován jednotkovou maticí

\[ \mathrm{2D:}\ e(R_2)=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right),\, \mathrm{3D:}\ e(R_3)=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right),\, \dots \]

Rotaci okolo osy $x$$180^\circ $ lze reprezentovat jako

\[ \mathrm{2D}\ (x,y):\ c_ x(R_2)=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right),\, \mathrm{3D}\ (x,y,z):\ c_ x(R_3)\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right)\, ,\dots \]

Pokud bychom si otočili systém souřadnic a naše osa by se už neshodovala s osou $x$, ale třeba s přímkou $(1,1,0)$, pak

\[ (x,y,z):\ c_{(1,1,0)}\left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right)\, . \]

Jak jsme na to přišli? Jednoduše: Aplikujeme tu operaci na několik triviálních objektů, pro které známe řešení. Tím dostaneme soustavu rovnic a jejím vyřešením prvky matice. Určeme společně matici zrcadlení v rovině $xy$ v trojrozměrném prostoru. Zobrazíme třeba jednotkové vektory ve směrech jednotlivých os. Jednotkový vektor ve směru osy $x$ leží v rovině $xy$, takže se operací nezmění:

\[ \left(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} a \\ d \\ g \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right)\, . \]

Z porovnání vektorů plyne, že $a=1$, $b=0$ a $c=0$. Podobně pro jednotkový vektor ve směru osy $y$

\[ \left(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} b \\ e \\ h \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right)\, , \]

a proto $b=0$, $e=1$ a $h=0$. Nakonec jednotkový vektor ve směru osy $z$ se překlopí na druhou stranu, tedy

\[ \left(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} c \\ f \\ i \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}\right)\, , \]

a z toho $c=0$, $f=0$ a $i=-1$. Matice zrcadlení v rovině $xy$ tedy je

\[ \sigma _{xy}(R_3)= \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right)\, . \]

Je zajímavé, že stopa, (tj. součet prvků na diagonále), matice reprezentující nějaký prvek grupy, je stejná pro všechny možné reprezentace stejné dimenze. Tomuto číslu říkáme charakter prvku $\chi _ a$. Podobné matice mají stejnou stopu. Podobné matice $A$ a $B$ jsou takové, že pro ně existuje matice $G$, aby $A=G\cdot B\cdot G^{-1}$. V tom poznáváme vzorec svazující konjugované prvky grupy, takže prvky grupy, které jsou spolu konjugované, mají stejný charakter. Například všechny rotace kolem dvoučetných os mají ve 3D $(x,y,z)$ reprezentaci charakter $-1$. Množina charakterů jednotlivých prvků se pak nazývá charakter reprezentace.

Podobnost matic slouží i k převádění mezi ekvivalentními reprezentacemi. Pokud jsou dvě reprezentace ekvivalentní, pak existuje nějaká matice $G$, která všechny matice reprezentující prvky grupy převede na jiné matice, které také reprezentují prvky této grupy. Takových ekvivalentních reprezentací je nekonečně mnoho, může ale existovat jedna speciální. V této reprezentaci získávají matice reprezentace grupy kvazidiagonální tvar, to znamená, že na diagonále máme oddělené čtvercové skupiny (podmatice) nenulových čísel a všude jinde nuly, např.

\[ \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \end{matrix}\right)\, . \]

Pokud taková podobnostní transformace existuje, říkáme, že původní reprezentace je reducibilní. Podmatice na stejných pozicích pak také fungují jako reprezentace původní grupy. Pokud taková transformace neexistuje, je reprezentace ireducibilní.

To, jestli je reprezentace ireducibilní, poznáme podle kritéria ireducibility: reprezentace je ireducibilní právě tehdy, když součet čtverců absolutních hodnot charakterů všech prvků této reprezentace je roven řádu grupy

\[ \sum _{R}|\chi _ a(R)|^2=g\, , \]

pro reducibilní reprezentace je tento součet větší.

Zkusme si ověřit reducibilitu 3D reprezentace grupy $C_2$.

\[ \chi _ e(3)=3\, ,\ \chi _{c_2}(3)=-1\, ,\ 3^2+|-1|^2=10>2 \]

3D reprezentace grupy $C_2$ tedy je reducibilní, ireducibilní je například 1D reprezentace, kde

\[ \chi _ e(1)=1\, ,\ \chi _{c_2}(1)=\pm 1\, ,\ 1^2+|\pm 1|^2=2\, . \]

Zuzi


1) Kvaterniony jsou rozšířením komplexních čísel, navíc k reálné a komplexní jednotce mají ještě dvě další. Jestliže si množinu komplexních čísel znázorňujeme jako rovinu, kde osa $x$ představuje násobky reálné jednotky a osa $y$ násobky imaginární jednotky, museli bychom pro kvaterniony přidat další dva rozměry.

2) Číslům, která splňují danou rovnici, se obvykle říká kořen

3) To jsou grupy symetrií isomorfní s určitými typy rovnic. Galoisovy grupy jsou pojmenovány podle Évariste Galoise, který právě prací s tímto problémem teorii grup založil.

4) Reflexivní rotace jsou rotace spojené se zrcadlením v rovině kolmé na rotační osu.

5) http://cs.wikipedia.org/wiki/Polární_soustava_souřadnic

6) http://cs.wikipedia.org/wiki/Sférická_soustava_souřadnic

7) http://cs.wikipedia.org/wiki/Fourierova_řada

3.5 Teorie grup II (6b)

  1. Urči řád grupy a jejích prvků a najdi co nejvíc podgrup a všechny třídy grupy $\mathrm{D_{3h}}$. (2b)

  2. Napiš nějakou 3D reprezentaci grupy všech dvojčetných rotací rovnostranného trojúhelníka a rozhodni, jestli je ireducibilní. (4b)