Seriál s: Co je to grupa? (5 b)

Zadáno v čísle 22.2.

Zadání

Jak jsme předeslali v prvním čísle, v letošním ročníku se dozvíš více o teorii grup. Rozhodně si to zaslouží, je to zásadní téma moderní matematiky a nachází uplatnění skutečně ledaskde. Na střední škole se ale nejspíš nedozvíš ani o její existenci. Proč?

Shodou náhod je důvod obojího stejný. Teorie grup není věda o kvantitách, ale o strukturách. Je to teorie, která klasifikuje objekty a operace mezi nimi a hledá v nich symetrie v nejširším slova smyslu. Při čtení tohoto seriálu si místy budeš říkat: „No jo, to se tak dělá, proč na to zavádět komplikovanou teorii.“ Ale to krásné je, že teorie grup platí v těchto jednoduchých modelových situacích, ale dá se aplikovat a usnadňuje život v situacích, kde by vás ani nenapadlo, že hledání struktury může něčemu pomoci. Teorie grup se těsně dotýká teorie množin a lineární algebry, proto tu budeš potkávat pojmy, které máš možná spojené s množinami a maticemi.

Takže co že je to ta grupa: Grupa je třeba množina celých čísel s operací sčítání, což dohromady značíme jako $(\mathbb {Z},+)$; racionální čísla bez nuly s operací násobení $(\mathbb {Q} \setminus \{ 0\} , \cdot )$; symetrie čtyřstěnu s jejich vzájemným skládáním $\mathrm{T_ d}$ (Některé grupy se používají často a množiny jim příslušné se popisují špatně, proto se zavedly značky přímo pro celé grupy, tedy dvojice množina a operace. Do této kategorie spadají mimo jiné všechny bodové grupy symetrie, tj. grupy operací symetrie a jejich skládání, které neobsahují translaci, tedy posun celého objektu o nějaký vektor vůči souřadné soustavě.); rotace kolem trojčetné osy $C_3$ a jejich vzájemné skládání; nebo množina různých permutací kořenů polynomiální rovnice, které nemění některé důležité vztahy mezi kořeny.

V grupách symetrií budeme rozlišovat rotační osy podle četnosti. Zatím jste se asi setkali jen s osami v rovině – objekt nakreslený na papíře je symetrický podle nějaké přímky, tj. kdybychom podél této přímky papír přeložili a podívali se skrz, uvidíme, že jednotlivé poloviny obrázku jsou v zákrytu. Také si můžeme představit, že papír zafixujeme v místě té přímky a otočíme ho vzhůru nohama (o $180^\circ $), a pokud je papír průhledný, dostaneme stejný obrázek. Obrázek je tedy symetrický vůči otočení o polovinu celého úhlu. Do identity, tady návratu do původního stavu, což je ekvivalentní neprovedení žádné operace, musíme tímto způsobem otočit dvakrát – osa je dvojčetná. Dalším typem osy, se kterým jsme se mohli setkat, je osa u rotačních těles, například válce. Válec můžeme otočit kolem osy vedoucí středy jeho podstav o libovolný úhel a pořád bude vypadat stejně. Je rotačně symetrický. Protože ho můžeme otočit o libovolný úhel, tedy i nekonečně malý, je taková osa nekonečně četná. V minulém odstavci jsme mluvili o trojčetné ose. Trojčetná osa je taková osa, kolem které když objekt otočíme o třetinu celého úhlu ($120^\circ $), získáme stejný objekt. Obecně definujeme $n$-četnou osu jako osu, kolem které otáčíme o násobky $n$-tiny celého úhlu a obrazec se nemění.

Z těchto příkladů už něco tušíme: Grupa $\mathbb {G}$ je množina nějakých objektů ($\mathbb {M}$) s nějakou operací, a navíc to celé asi bude muset splňovat nějaké podmínky, protože když zdůrazňujeme, že chceme racionální čísla bez nuly, tak to asi s nulou fungovat nebude, a tudíž ne každá množina s operací je grupou. Pokud se mluví o grupách obecně, je běžné tuto operaci nazývat grupové násobení, ačkoli tou operací může být leccos, jak vidíme z příkladů výše, a zdaleka ne jen násobení, jak jsme zvyklí jej chápat. Grupovou operaci budeme značit $\bullet $.

Podmínek na grupu $\mathbb {G}=(\mathbb {M},\bullet )$ je několik:

  1. Výsledek aplikování grupového násobení na jakékoli dva prvky $\mathbb {M}$ dá opět prvek $\mathbb {M}$. (Například součet jakýchkoli dvou celých čísel je celé číslo.) Říkáme, že $\mathbb {M}$ je vůči grupovému násobení uzavřená.

    \[ \forall a,b \in \mathbb {M}: a\bullet b\in \mathbb {M} \]
  2. Při kombinaci více prvků nezáleží na uzávorkování, grupové násobení je tedy asociativní.

    \[ \forall a,b,c\in \mathbb {M}: (a\bullet b)\bullet c=a\bullet (b\bullet c) \]
  3. Mezi prvky množiny je jeden výjimečný. Grupové násobení tímto prvkem ostatní prvky $\mathbb {M}$ nezmění. Proto tomuto prvku říkáme jednotkový. Značíme jej obvykle $ {1}$ nebo $e$.

    \[ \exists {1}\in \mathbb {M}: \forall a\in \mathbb {M}: a\bullet {1}= {1}\bullet a=a \]
  4. Ke každému prvku existuje v grupě prvek takový, že jejich vzájemným grupovým vynásobením vznikne prvek jednotkový. Říkáme, že jsou prvky navzájem inverzní.

    \[ (\forall a \in \mathbb {M}) (\exists b \in \mathbb {M}): a\bullet b=b\bullet a= {1} \]

    Bývá zvykem inverzní prvek k $a$ značit jako $a^{-1}$.

    Zamysleme se nad tím, jestli může mít jeden prvek inverzních prvků více. Pokud by například prvek $a$ měl inverzní prvky $b$ a $c$, pak by všechny tři prvky byly vzájemně inverzní, tedy $a\bullet b=1$, $b\bullet a=1$, $a\bullet c=1$, $c\bullet a=1$,
    $b\bullet c=1$ a $c\bullet b=1$. Potom můžeme položit $a\bullet b=a\bullet c$, a po vynásobení rovnice $a^{-1}$ zleva (vzhledem k tomu, že grupové násobení obecně není komutativní, rozlišujeme grupové násobení zleva a zprava), dostaneme $b=c$. Vidíme tedy, že dva inverzní prvky prvku $a$ se sobě rovnají, takže máme jen jeden inverzní prvek.

Některé možná překvapí, že není potřeba, aby grupové násobení bylo na prvcích $\mathbb {M}$ komutativní, tedy aby nezáleželo na pořadí ($a\bullet b= b\bullet a$). Některé grupy to splňují, těm říkáme Abelovy nebo komutativní. Ale nebudeme se omezovat jen na ně, tím bychom se ochudili o ty nejzajímavější!

A teď cvičení: Ověříme si, že některé nabízené příklady jsou skutečně grupy.

Celá čísla s operací sčítání $(\mathbb {Z},+)$

  1. Uzavřenost: Součet každých dvou celých čísel je opět celé číslo, tak je mimochodem množina celých čísel vystavěna. Naopak vidíme, že aby byla množina celých čísel uzavřená vůči sčítání (a přitom obsahovala nějaké nenulové číslo), musí být nekonečná, protože sečtením dvou kladných čísel vždy dostaneme číslo větší.

  2. Asociativita grupového násobení: Pro sčítání celých čísel skutečně platí, že $(a+b)+c=a+(b+c)$. Sčítání čísel je i komutativní.

  3. Existence jednotkového prvku: Jednotkovým prvkem pro operaci sčítání celých čísel je nula. Číslo, ke kterému přičteme nulu, se nezmění. Grupa čísel založená na operaci sčítání čísel musí obsahovat nulu.

  4. Existence inverzního prvku: Ke každému celému číslu skutečně máme inverzní číslo při operaci sčítání. Ke kladným jsou inverzní záporná a naopak. Proto jako grupa se sčítáním nefunguje třeba množina přirozených čísel.

Racionální čísla s operací násobení $(\mathbb {Q} \setminus \{ 0\} , \cdot )$

  1. Uzavřenost: Každé racionální číslo se dá napsat ve tvaru $p/q$, kde $p$ a $q$ jsou celá čísla a $q\neq 0$. Když násobíme dvě racionální čísla $p/q$ a $r/s$, je výsledkem $(p\cdot r)/(q\cdot s)$. Vynásobením dvou celých čísel je opět celé číslo a pokud ani jedno z nich není nula, pak je výsledek také nenulový, proto je $(p\cdot r)/(q\cdot s)$ racionální číslo. Stejně jako u sčítání, i tady pro splnění uzavřenosti potřebujeme nekonečnou množinu (pokud v ní chceme mít i něco jiného než jen jedničku).

  2. Asociativita grupového násobení: Násobení čísel je asociativní, dokonce je i komutativní.

  3. Existence jednotkového prvku: Jednotkovým prvkem vůči násobení je jednička. Cokoli vynásobeno jedničkou se nezmění. V grupě založené na násobení čísel jedničku potřebujeme.

  4. Existence inverzního prvku: Inverzním prvkem k číslu $a$ pro operaci násobení je $1/a$. $1/a \cdot a=1$. Takže celá čísla s operací násobení grupu netvoří. Právě kvůli existenci inverzního prvku tvoří tuto grupu racionální čísla bez nuly.

Grupa rotací kolem trojčetné osy s jejich skládáním $\mathrm{C_3}$

Rotace kolem trojčetné osy jsou rotace o $120^\circ $ ($C_3$), $240^\circ $ ($C_3^2$) a $360^\circ $ (identita, $e$).

  1. Uzavřenost: Při ověřování uzavřenosti konečných grup ($\mathbb {M}$ je konečná) si můžeme pomoci multiplikativní tabulkou. V prvním řádku a prvním sloupci tabulky vypíšeme všechny prvky $\mathbb {M}$ a na pozice $(x,y)$ uvnitř píšeme výsledky operací $A_ x\bullet A_ y$.

    $e$

    $C_3$

    $C_3^2$

    $e$

    $e$

    $C_3$

    $C_3^2$

    $C_3$

    $C_3$

    $C_3^2$

    e

    $C_3^2$

    $C_3^2$

    e

    $C_3$

    Vidíme, že uvnitř tabulky máme jen stejné rotace jako v prvním řádku a sloupci, množina je tedy na skládání uzavřená.

  2. Asociativita grupového násobení: Opět můžeme ověřit z tabulky. Například $(C_3\bullet C_3^2)\bullet C_3=e\bullet C_3=C_3=C_3\bullet e=C_3\bullet (C_3^2\bullet C_3)$. Operace rotace kolem společné osy jsou navíc komutativní, což se projevuje tím, že multiplikativní tabulka je souměrná podle diagonály.

  3. Existence jednotkového prvku: Jednotkovým prvkem společným pro všechny operace symetrie je identita $e$. Je to operace, která zkrátka s ničím nepohne a dá se popsat mnoha různými způsoby, například jako otočení o $360^\circ $ kolem libovolné osy.

  4. Existence inverzního prvku: Jak opět vidíme z multiplikativní tabulky, jediné dva další prvky grupy, krom prvku jednotkového, jsou navzájem inverzní. Obecně k rotaci o $x^\circ $ je inverzní operace rotace o $(360-x)^\circ $.

Bodová grupa symetrie čtyřstěnu $\mathrm{T_ d}$

To už je trochu větší a složitější grupa. Pokusíme se ji společně vystavět a cestou si ukážeme některé další jevy týkající se operací symetrie a teorie grup. U systémů, kde není na první pohled vše jasné, také oceníme, že nám znalost teorie grup může s jejich popisem pomoci.

Začneme tím, že najdeme alespoň nějaké operace symetrie pro čtyřstěn: Předně musí grupa obsahovat identitu. Pokračujeme tím, co už známe – trojčetnými osami. Čtyřstěn má čtyři – vždy procházejí vrcholem a středem protější stěny, označme si je $c_ A$, $c_ B$, $c_ C$ a $c_ D$. Kolem každé můžeme otočit jednou nebo dvakrát, stejně jako v předchozí grupě. Fungovalo by to už jako grupa? Zkusme si nejdříve ověřit uzavřenost, tedy zkusme prvky grupy skládat. Protože na čtyřstěnu jako takovém se operace symetrie neprojeví a na jiném tělese by se nám špatně hledaly ty osy, bude se nám hodit označit si jeho vrcholy (obrázek 1 vlevo), nebo si jej překreslit jako molekulu (obrázek 1 vpravo).

Obrázek 1: Tetraedr s vyznačenou trojčetnou osou $c_ A$, vpravo je vyznačeno i jeho těžiště S a spojeno s vrcholy – tohle znázornění se používá pro molekuly.

Zkusme například provést nejdřív rotaci podle osy $c_ A$ a potom podle osy $c_ B$ (Obrázek 2). Musíme si dát pozor na to, že osa $c_ B$ vede vrcholem, kde byl bod B na začátku, a taky na to, abychom u všech rotací dodržovali stejný smysl rotace. Dohodněme se třeba, že budeme otáčet vždy po směru hodinových ručiček při pohledu na stejnojmenný vrchol.

Obrázek 2: Vlevo vidíme čtyřstěn s naznačenou osou $c_ A$, kolem které budeme otáčet. Po otočení se dostaneme do stavu uprostřed a aplikujeme naznačenou rotaci kolem osy $c_ B$ (pozor, podle původní polohy bodu B). Výsledkem tohoto otočení je situace vpravo, otočením podle naznačené osy $c_ C$ se dostaneme do původního stavu.

Vrchol C se vrátil na svoje místo, takže by se výsledek mohl shodovat s nějakou rotací podle $c_ C$ (Obrázek 3). Mimochodem, body, které leží přímo na ose symetrie (v rovině, obecně na prvku), se danou operací nikdy nemění.

Obrázek 3: Vlevo: Čtyřstěn s naznačenou osou $c_ A$, kolem které budeme otáčet. Po otočení se dostaneme do stavu uprostřed a opět aplikujeme naznačenou rotaci kolem osy $c_ C$. Výsledkem tohoto otočení je situace vpravo, opětovným otočením podle naznačené osy $c_ C$ se dostaneme do původního stavu.

A skutečně, $c_ A\bullet c_ B=c_ C^2$. Sami si vyzkoušejte, že $c_ B\bullet c_ A=c_ D^2$. Skládaní rotací kolem různých os tedy komutativní není.

Obrázek 4: Vlevo: Čtyřstěn s naznačenou osou $c_ A$, kolem které budeme otáčet. Po otočení se dostaneme do stavu uprostřed a aplikujeme naznačenou rotaci kolem osy $c_ B$, tentokrát dvakrát. Výsledkem tohoto otočení je situace vpravo, otočením podle naznačené osy $c_ C$ se dostaneme do původního stavu.

Teď zkusme třeba $c_ A^2\bullet c_ B$ (Obrázek 4). Vidíme, že ani jeden vrchol nezůstal na svém místě, výsledek $c_ A^2\bullet c_ B$ tedy není žádná z našich trojčetných rotací a takto definovaná množina operací jako grupa fungovat nebude.

Jaká operace nám tedy vyšla? Je to dvojčetná rotace (o $180^\circ $) kolem osy procházející středy hran AD a BC (Obrázek 5), označme si ji $c_{(AD,BC)}$.

Obrázek 5: Vlevo: Čtyřstěn s naznačenou dvojčetnou osou procházející středy protilehlých hran, kolem které budeme otáčet. Po otočení se dostaneme do stavu vpravo, který se shoduje se stavem vpravo na předchozím obrázku.

Přidáme tedy všechny dvojčetné osy čtyřstěnu, ty jsou tři: $c_{(AB,CD)}$, $c_{(AC,BD)}$ a $c_{(AD,BC)}$. Takto definovaná množina rotací se skládáním již grupou je, důkazem budiž multiplikativní tabulka 1 (na další stránce).

$e$

$c_ A$

$c_ A^2$

$c_ B$

$c_ B^2$

$c_ C$

$e$

$e$

$c_ A$

$c_ A^2$

$c_ B$

$c_ B^2$

$c_ C$

$c_ A$

$c_ A$

$c_ A^2$

$e$

$c_ C^2$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ D^2$

$c_ A^2$

$c_ A^2$

$e$

$c_ A$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ D$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ B$

$c_ B$

$c_ D^2$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ B^2$

$e$

$c_ A^2$

$c_ B^2$

$c_ B^2$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ C$

$e$

$c_ B$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ C$

$c_ C$

$c_ B^2$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ D^2$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ C^2$

$c_ C^2$

$c_ C^2$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ D$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ A$

$e$

$c_ D$

$c_ D$

$c_ C^2$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ A^2$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ B^2$

$c_ D^2$

$c_ D^2$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ B$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ C$

$c_{(AD,BC)}$

$c_{(AB,CD)}$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ D$

$c_ C^2$

$c_ C$

$c_ D^2$

$c_ B$

$c_{(AC,BD)}$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ B$

$c_ D^2$

$c_ A$

$c_ C^2$

$c_ D$

$c_{(AD,BC)}$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ C$

$c_ B^2$

$c_ D$

$c_ A^2$

$c_ A$

$c_ C^2$

$c_ D$

$c_ D^2$

$c_{(AB,CD)}$

$c_{(AC,BD)}$

$c_{(AD,BC)}$

$e$

$c_ C^2$

$c_ D$

$c_ D^2$

$c_{(AB,CD)}$

$c_{(AC,BD)}$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ A$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ B^2$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ C$

$c_ D$

$c_ B$

$c_ A^2$

$c_ B$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ C$

$c_ D^2$

$c_ B^2$

$c_ C^2$

$c_ B$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ C^2$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ D$

$c_ C$

$c_ A$

$c_ B^2$

$c_ D$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ A$

$c_ C^2$

$c_ A^2$

$c_ D^2$

$c_ C$

$e$

$c_ A^2$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ A$

$c_ B$

$c_ D$

$c_ C^2$

$c_ C$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ B$

$c_ B^2$

$c_ D^2$

$c_ A^2$

$c_ D$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ D^2$

$e$

$c_ B$

$c_ A$

$c_ C$

$c_ D^2$

$c_ A$

$e$

$c_ D$

$c_ A^2$

$c_ C^2$

$c_ B^2$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ A^2$

$c_ A$

$c_ B^2$

$e$

$c_{(AD,BC)}$

$c_{(AC,BD)}$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ B^2$

$c_ C$

$c_ A^2$

$c_{(AD,BC)}$

$e$

$c_{(AB,CD)}$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ D^2$

$c_ B$

$c_ C^2$

$c_{(AC,BD)}$

$c_{(AB,CD)}$

$e$

Obrázek 1: Multiplikativní tabulka grupy rotací čtyřstěnu se skládáním.

Grupa je uzavřená, obsahuje identitu, tedy jednotkový prvek; v každém řádku i sloupci máme identitu, takže ke každému prvku najdeme prvek inverzní. Skládání zobrazení je asociativní vždy. Všimněme si také, že v každém řádku i sloupci je každý prvek grupy právě jednou. To je obecná vlastnost grup a souvisí s jejich uzavřeností.

Máme v naší grupě ale obsaženy všechny prvky symetrie čtyřstěnu? Ještě jsme nezavedli roviny zrcadlení ... Obecně u těles máme roviny horizontální, vertikální a ostatní diagonální. Horizontální rovina zrcadlení je taková, která je kolmá na rotační osu s nejvyšší četností – taková osa se nazývá hlavní. Vertikální rovina v sobě hlavní osu obsahuje. U čtyřstěnu jsou hlavními osami ty trojčetné. Horizontální rovinu čtyřstěn nemá, ale má šest vertikálních, každá v sobě obsahuje dvě trojčetné osy, jednu dvojčetnou a hranu spojující vrcholy příslušné těm trojčetným osám. Podle těchto hran si roviny označme $\sigma _{AB}$, $\sigma _{AC}$, $\sigma _{AD}$, $\sigma _{BC}$, $\sigma _{BD}$ a $\sigma _{CD}$. Doplňme je do multiplikativní tabulky. Jestliže aplikujeme po sobě dvě různá zrcadlení, tak pokud mají roviny společný vrchol, např. $\sigma _{AB}$ a $\sigma _{AC}$, dostaneme otočení kolem osy příslušné společnému vrcholu, tady $c_ A$ nebo $c_ A^2$, záleží na pořadí (Obrázek 6). Jestliže společný vrchol nemají, jako $\sigma _{AB}$ a $\sigma _{CD}$, dostaneme otočení kolem dvojčetné osy procházející středy zmíněných úseček, $\sigma _{AB}\bullet \sigma _{CD}=\sigma _{CD}\bullet \sigma _{AB}=c_{(AB,CD)}$ (Obrázek 7).

Obrázek 6: Vlevo nahoře vidíme čtyřstěn s naznačenou rovinou zrcadlení $\sigma _{AB}$, ve které budeme zrcadlit. Po zrcadlení se dostaneme do stavu nahoře uprostřed a aplikujeme naznačené zrcadlení v rovině $\sigma _{AC}$. Výsledkem tohoto otočení je situace nahoře vpravo, otočením podle naznačené osy $c_ A$ se dostaneme do původního stavu. Dole máme podobnou situaci, jen nejdříve zrcadlíme v rovině $\sigma _{AC}$ a pak teprve v rovině $\sigma _{AB}$, výsledkem je opět otočení kolem osy $c_ A$, jenže tentokrát dvojnásobné.
Obrázek 7: Vlevo vidíme čtyřstěn s naznačenou rovinou zrcadlení $\sigma _{AB}$, ve které budeme zrcadlit. Po zrcadlení se dostaneme do stavu uprostřed a aplikujeme naznačené zrcadlení v rovině $\sigma _{CD}$. Výsledkem tohoto otočení je situace vpravo, otočením podle naznačené osy $s_{AB-CD}$ se dostaneme do původního stavu.

Pokud skládáme zrcadlení s otočením okolo osy, která je v rovině obsažená, dostaneme další zrcadlení, jako např. $\sigma _{AB}\bullet c_ A=\sigma _{AD}$ (Obrázek 8).

Obrázek 8: Vlevo vidíme čtyřstěn s naznačenou rovinou zrcadlení $\sigma _{AB}$, podle které budeme zrcadlit. Po zrcadlení se dostaneme do stavu uprostřed a aplikujeme otočení kolem naznačené osy $c_ A$. Výsledkem tohoto otočení je situace vpravo, zrcadlením v rovině $\sigma _{AD}$ se dostaneme do původního stavu.

Pokud ale kombinujeme zrcadlení s osou, která v rovině obsažená není, např. $\sigma _{BC}\bullet c_ D$, dostaneme operaci, jakou jsme ještě nezavedli (Obrázek 9). Je to kombinace otočení o $90^\circ $ kolem osy $c_{(AC,BD)}$ a zrcadlení v rovině na ni kolmé (prochází středy hran AB, AD, BC a CD). Tuto operaci nazýváme reflexní osa a značíme $s_{(AC,BD)}$. Vidíme, že osy procházející středy protějších hran jsou vlastně čtyřčetné reflexní osy, protože $s_{(WX,YZ)}\bullet s_{(WX,YZ)}=(s_{(WX,YZ)})^2=c_{(WX,YZ)}$. Tady narážíme na terminologický problém, protože $s_{(WX,YZ)}^2\neq (s_{(WX,YZ)})^2$. Výrazem $s_{(WX,YZ)}^2$ značíme otočení okolo osy o $180^\circ $ a následné zrcadlení v rovině na ni kolmé, kdežto $(s_{(WX,YZ)})^2$ je dvojnásobné provedení $s_{(WX,YZ)}$. Podle $s_{(WX,YZ)}^2$ čtyřstěn symetrický není.

Obrázek 9: Vlevo vidíme čtyřstěn s naznačenou rovinou zrcadlení $\sigma _{BC}$, ve které budeme zrcadlit. Po zrcadlení se dostaneme do stavu uprostřed a aplikujeme naznačenou rotaci kolem osy $c_ D$. Výsledkem tohoto otočení je situace vpravo, otočením podle naznačené reflexní čtyřčetné osy $s_{AC-BD}$ se dostaneme do původního stavu.

Teď už máme celkem 24 operací, a protože jimi máme pokryté všechny permutace vrcholů čtyřstěnu ($4!=24$), vidíme, že už jsou všechny. Tady nám teorie grup pomohla. Postupem podle kuchařky jsme dohledali symetrie čtyřstěnu, které nás nemusely napadnout, dokonce nám je pomohla pojmenovat, a to jen grupovým násobením prvků (viz tabulku 2).

$e$

$c_ A$

$c_ A^2$

$c_ B$

$c_ B^2$

$c_ C$

$e$

$e$

$c_ A$

$c_ A^2$

$c_ B$

$c_ B^2$

$c_ C$

$c_ A$

$c_ A$

$c_ A^2$

$e$

$c_ C^2$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ D^2$

$c_ A^2$

$c_ A^2$

$e$

$c_ A$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ D$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ B$

$c_ B$

$c_ D^2$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ B^2$

$e$

$c_ A^2$

$c_ B^2$

$c_ B^2$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ C$

$e$

$c_ B$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ C$

$c_ C$

$c_ B^2$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ D^2$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ C^2$

$c_ C^2$

$c_ C^2$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ D$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ A$

$e$

$c_ D$

$c_ D$

$c_ C^2$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ A^2$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ B^2$

$c_ D^2$

$c_ D^2$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ B$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ C$

$c_{(AD,BC)}$

$s_{(AB,CD)}$

$s_{(AB,CD)}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$\sigma _{BD}$

$s_{(AD,BC)}$

$\sigma _{AC}$

$\sigma _{AD}$

$c_{(AB,CD)}$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ D$

$c_ C^2$

$c_ C$

$c_ D^2$

$c_ B$

$s_{(AB,CD)}^3$

$s_{(AB,CD)}^3$

$\sigma _{BC}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$\sigma _{AD}$

$s_{(AC,BD)}$

$s_{(AD,BC)}$

$s_{(AC,BD)}$

$s_{(AC,BD)}$

$\sigma _{CD}$

$s_{(AD,BC)}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$\sigma _{AD}$

$\sigma _{AB}$

$c_{(AC,BD)}$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ B$

$c_ D^2$

$c_ A$

$c_ C^2$

$c_ D$

$s_{(AC,BD)}^3$

$s_{(AC,BD)}^3$

$s_{(AB,CD)}^3$

$\sigma _{BC}$

$\sigma _{CD}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$s_{(AB,CD)}$

$s_{(AD,BC)}$

$s_{(AD,BC)}$

$s_{(AC,BD)}$

$\sigma _{CD}$

$\sigma _{AC}$

$s_{(AB,CD)}$

$\sigma _{BD}$

$c_{(AD,BC)}$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ C$

$c_ B^2$

$c_ D$

$c_ A^2$

$c_ A$

$s_{(AD,BC)}^3$

$s_{(AD,BC)}^3$

$\sigma _{BD}$

$s_{(AB,CD)}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$\sigma _{CD}$

$s_{(AC,BD)}$

$\sigma _{AB}$

$\sigma _{AB}$

$\sigma _{AD}$

$\sigma _{AC}$

$\sigma _{BC}$

$\sigma _{BD}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$\sigma _{AC}$

$\sigma _{AC}$

$\sigma _{AB}$

$\sigma _{AD}$

$s_{(AB,CD)}$

$s_{(AD,BC)}$

$\sigma _{CD}$

$\sigma _{AD}$

$\sigma _{AD}$

$\sigma _{AC}$

$\sigma _{AB}$

$s_{(AC,BD)}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$s_{(AC,BD)}^3$

$\sigma _{BC}$

$\sigma _{BC}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$s_{(AB,CD)}^3$

$\sigma _{BD}$

$\sigma _{AB}$

$\sigma _{AC}$

$\sigma _{BD}$

$\sigma _{BD}$

$s_{(AB,CD)}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$\sigma _{AB}$

$\sigma _{BC}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$\sigma _{CD}$

$\sigma _{CD}$

$s_{(AD,BC)}$

$s_{(AC,BD)}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$s_{(AC,BD)}^3$

$\sigma _{BC}$

$c_ C^2$

$c_ D$

$c_ D^2$

$s_{(AB,CD)}$

$c_{(AB,CD)}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$e$

$c_ C^2$

$c_ D$

$c_ D^2$

$s_{(AB,CD)}$

$c_{(AB,CD)}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$c_ A$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ B^2$

$c_{(AB,CD)}$

$s_{(AC,BD)}$

$c_ C$

$\sigma _{BD}$

$c_ A^2$

$c_ B$

$s_{(AC,BD)}^2$

$c_ C$

$\sigma _{BC}$

$c_ D^2$

$s_{(AD,BC)}$

$c_ B$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ C^2$

$c_{(AD,BC)}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$c_ D$

$\sigma _{AC}$

$c_ B^2$

$c_ D$

$s_{(AB,CD)}^2$

$c_ A$

$\sigma _{AD}$

$c_ C^2$

$s_{(AD,BC)}^3$

$c_ C$

$e$

$c_ A^2$

$c_{(AC,BD)}$

$\sigma _{BD}$

$c_ A$

$s_{(AC,BD)}$

$c_ C^2$

$c_ C$

$s_{(AD,BC)}^2$

$c_ B$

$s_{(AD,BC)}^3$

$c_ B^2$

$\sigma _{AD}$

$c_ D$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ D^2$

$e$

$\sigma _{AC}$

$c_ B$

$s_{(AC,BD)}^3$

$c_ D^2$

$c_ A$

$e$

$c_ D$

$s_{(AD,BC)}$

$c_ A^2$

$\sigma _{BC}$

$s_{(AB,CD)}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$\sigma _{BC}$

$s_{(AC,BD)}$

$c_{(AB,CD)}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$e$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ A^2$

$c_ A$

$c_ B^2$

$s_{(AB,CD)}^3$

$e$

$s_{(AB,CD)}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$\sigma _{BD}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$\sigma _{AC}$

$e$

$s_{(AB,CD)}$

$c_{(AB,CD)}$

$s_{(AC,BD)}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$s_{(AB,CD)}$

$\sigma _{BC}$

$c_ C$

$\sigma _{BD}$

$c_ A$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ B^2$

$c_ C$

$c_ A^2$

$\sigma _{AB}$

$c_{(AD,BC)}$

$\sigma _{CD}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$\sigma _{AD}$

$\sigma _{AB}$

$s_{(AD,BC)}$

$c_ D$

$\sigma _{AC}$

$c_ B$

$s_{(AD,BC)}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$s_{(AC,BD)}^3$

$\sigma _{AB}$

$c_ A^2$

$\sigma _{BC}$

$c_ D^2$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ D^2$

$c_ B$

$c_ C^2$

$\sigma _{CD}$

$c_{(AC,BD)}$

$\sigma _{AB}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$\sigma _{AB}$

$\sigma _{AC}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$c_ B^2$

$\sigma _{AD}$

$c_ C^2$

$\sigma _{AB}$

$s_{(AC,BD)}$

$s_{(AD,BC)}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$c_{(AD,BC)}$

$\sigma _{CD}$

$c_{(AC,BD)}$

$\sigma _{AC}$

$\sigma _{BC}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$s_{(AD,BC)}^3$

$c_ B$

$s_{(AC,BD)}^3$

$c_ D$

$\sigma _{AD}$

$s_{(AB,CD)}$

$\sigma _{BD}$

$\sigma _{CD}$

$c_ C^2$

$s_{(AD,BC)}^3$

$c_ B^2$

$\sigma _{BC}$

$\sigma _{CD}$

$s_{(AC,BD)}$

$s_{(AB,CD)}$

$c_ D^2$

$s_{(AD,BC)}$

$c_ A^2$

$\sigma _{BD}$

$s_{(AD,BC)}$

$\sigma _{CD}$

$\sigma _{AD}$

$c_ A$

$s_{(AC,BD)}$

$c_ C$

$\sigma _{CD}$

$\sigma _{AC}$

$\sigma _{AD}$

$\sigma _{BD}$

$c_{(AC,BD)}$

$\sigma _{AB}$

$s_{(AD,BC)}^2$

Obrázek 2: Tabulka grupy symetrií čtyřstěnu (pokračování v tabulce 3)

$s_{(AC,BD)}$

$c_{(AC,BD)}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$s_{(AD,BC)}$

$c_{(AD,BC)}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$e$

$s_{(AC,BD)}$

$c_{(AC,BD)}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$s_{(AD,BC)}$

$c_{(AD,BC)}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$c_ A$

$\sigma _{BC}$

$c_ D$

$s_{(AD,BC)}^3$

$s_{(AB,CD)}^3$

$c_ B$

$\sigma _{CD}$

$c_ A^2$

$s_{(AB,CD)}$

$c_ B^2$

$\sigma _{CD}$

$\sigma _{BD}$

$c_ C^2$

$s_{(AC,BD)}^3$

$c_ B$

$s_{(AD,BC)}$

$c_ C$

$\sigma _{AD}$

$\sigma _{CD}$

$c_ A$

$s_{(AB,CD)}^3$

$c_ B^2$

$\sigma _{CD}$

$c_ A^2$

$s_{(AB,CD)}$

$s_{(AC,BD)}$

$c_ D^2$

$\sigma _{AC}$

$c_ C$

$\sigma _{AD}$

$c_ B$

$s_{(AD,BC)}$

$\sigma _{AB}$

$c_ D$

$s_{(AB,CD)}$

$c_ C^2$

$s_{(AB,CD)}^3$

$c_ D^2$

$\sigma _{AB}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$c_ A^2$

$\sigma _{BD}$

$c_ D$

$s_{(AD,BC)}^3$

$c_ A$

$\sigma _{BC}$

$s_{(AB,CD)}$

$c_ C$

$\sigma _{AB}$

$c_ D^2$

$\sigma _{AB}$

$c_ C^2$

$s_{(AB,CD)}^3$

$\sigma _{AC}$

$c_ B^2$

$s_{(AC,BD)}$

$s_{(AB,CD)}$

$c_ B^2$

$\sigma _{CD}$

$c_ A^2$

$c_ C$

$\sigma _{AB}$

$c_ D$

$c_{(AB,CD)}$

$\sigma _{AC}$

$c_{(AD,BC)}$

$\sigma _{BD}$

$\sigma _{AD}$

$c_{(AC,BD)}$

$\sigma _{BC}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$c_ D^2$

$\sigma _{AB}$

$c_ C^2$

$c_ B$

$\sigma _{CD}$

$c_ A$

$s_{(AC,BD)}$

$c_{(AC,BD)}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$e$

$c_ D^2$

$\sigma _{AC}$

$c_ B^2$

$c_{(AC,BD)}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$e$

$s_{(AC,BD)}$

$\sigma _{BC}$

$c_{(AB,CD)}$

$\sigma _{AD}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$e$

$s_{(AC,BD)}$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ A^2$

$\sigma _{BD}$

$c_ C^2$

$s_{(AD,BC)}$

$c_ C$

$\sigma _{AD}$

$c_ B$

$c_{(AD,BC)}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$e$

$c_{(AD,BC)}$

$\sigma _{BD}$

$c_{(AB,CD)}$

$\sigma _{AC}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$e$

$s_{(AD,BC)}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$c_ A$

$\sigma _{BC}$

$c_ D$

$e$

$s_{(AD,BC)}$

$c_{(AD,BC)}$

$\sigma _{AB}$

$c_ C^2$

$s_{(AB,CD)}^3$

$c_ D^2$

$c_ D$

$s_{(AB,CD)}$

$c_ C$

$\sigma _{AC}$

$s_{(AD,BC)}^2$

$\sigma _{BD}$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ B^2$

$s_{(AC,BD)}$

$c_ D^2$

$\sigma _{AD}$

$c_ B$

$s_{(AD,BC)}$

$c_ C$

$c_{(AC,BD)}$

$\sigma _{BC}$

$c_{(AB,CD)}$

$\sigma _{BC}$

$c_ D$

$s_{(AD,BC)}^3$

$c_ A$

$c_{(AB,CD)}$

$\sigma _{AD}$

$c_{(AC,BD)}$

$\sigma _{BD}$

$c_{(AB,CD)}$

$\sigma _{AC}$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ C^2$

$s_{(AC,BD)}^3$

$c_ A^2$

$\sigma _{CD}$

$c_ A^2$

$s_{(AB,CD)}$

$c_ B^2$

$c_ A$

$s_{(AB,CD)}^3$

$c_ B$

$\sigma _{AB}$

$\sigma _{AC}$

$\sigma _{AD}$

$\sigma _{BC}$

$\sigma _{BD}$

$\sigma _{CD}$

$e$

$\sigma _{AB}$

$\sigma _{AC}$

$\sigma _{AD}$

$\sigma _{BC}$

$\sigma _{BD}$

$\sigma _{CD}$

$c_ A$

$\sigma _{AC}$

$\sigma _{AD}$

$\sigma _{AB}$

$s_{(AB,CD)}$

$s_{(AD,BC)}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$c_ A^2$

$\sigma _{AD}$

$\sigma _{AB}$

$\sigma _{AC}$

$s_{(AC,BD)}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$s_{(AD,BC)}^3$

$c_ B$

$\sigma _{BD}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$s_{(AB,CD)}$

$\sigma _{AB}$

$\sigma _{BC}$

$s_{(AC,BD)}$

$c_ B^2$

$\sigma _{BC}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$s_{(AC,BD)}^3$

$\sigma _{BD}$

$\sigma _{AB}$

$s_{(AD,BC)}$

$c_ C$

$s_{(AC,BD)}^3$

$\sigma _{BC}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$\sigma _{CD}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$\sigma _{AC}$

$c_ C^2$

$s_{(AD,BC)}$

$\sigma _{CD}$

$s_{(AC,BD)}$

$\sigma _{AC}$

$s_{(AB,CD)}$

$\sigma _{BC}$

$c_ D$

$s_{(AC,BD)}$

$s_{(AD,BC)}$

$\sigma _{CD}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$\sigma _{AD}$

$\sigma _{BD}$

$c_ D^2$

$s_{(AD,BC)}^3$

$s_{(AB,CD)}$

$\sigma _{BD}$

$s_{(AC,BD)}^3$

$\sigma _{CD}$

$\sigma _{AD}$

$s_{(AB,CD)}$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ D^2$

$c_ B$

$c_ A$

$c_ C^2$

$c_{(AD,BC)}$

$c_{(AB,CD)}$

$\sigma _{CD}$

$s_{(AC,BD)}$

$s_{(AD,BC)}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$s_{(AC,BD)}^3$

$\sigma _{AB}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ B^2$

$c_ C$

$c_ D$

$c_ A^2$

$c_{(AC,BD)}$

$s_{(AC,BD)}$

$c_ D$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ C^2$

$c_ A^2$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ B$

$c_{(AC,BD)}$

$s_{(AB,CD)}$

$\sigma _{BD}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$s_{(AD,BC)}$

$\sigma _{AC}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$s_{(AC,BD)}^3$

$c_ C$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ B^2$

$c_ D^2$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ A$

$s_{(AD,BC)}$

$c_ C^2$

$c_ D$

$s_{(AB,CD)}^2$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ A$

$c_ B^2$

$c_{(AD,BC)}$

$s_{(AB,CD)}^3$

$s_{(AC,BD)}^3$

$\sigma _{BC}$

$\sigma _{AD}$

$s_{(AC,BD)}$

$s_{(AB,CD)}$

$s_{(AD,BC)}^3$

$c_ D^2$

$c_ B$

$s_{(AC,BD)}^2$

$c_{(AB,CD)}$

$c_ C$

$c_ A^2$

$\sigma _{AB}$

$e$

$c_ A^2$

$c_ A$

$c_ B$

$c_ B^2$

$c_{(AB,CD)}$

$\sigma _{AC}$

$c_ A$

$e$

$c_ A^2$

$c_ C^2$

$c_{(AC,BD)}$

$c_ C$

$\sigma _{AD}$

$c_ A^2$

$c_ A$

$e$

$c_{(AD,BC)}$

$c_ D$

$c_ D^2$

$\sigma _{BC}$

$c_ B^2$

$c_ C$

$c_{(AD,BC)}$

$e$

$c_ B$

$c_ C^2$

$\sigma _{BD}$

$c_ B$

$s_{(AC,BD)}^2$

$c_ D^2$

$c_ B^2$

$e$

$c_ D$

$\sigma _{CD}$

$s_{(AB,CD)}^2$

$c_ C^2$

$c_ D$

$c_ C$

$c_ D^2$

$e$

Obrázek 3: Tabulka grupy symetrií čtyřstěnu (pokračování)

Jedna grupa ale může popisovat (a typicky popisuje) více věcí. Podívejme
se znovu na grupu $\mathrm{C_3}$. Je to příklad skupiny grup, kterým říkáme cyklické.
Jejich důležitou vlastností je to, že obsahují jeden základní prvek a ostatní prvky, včetně jednotkového, jsou jím generovány. Cyklické grupy jsou Abelovy, takže jejich prvky navzájem komutují. Cyklické grupy popisují rotace kolem $n$-četných os, jak už jsme viděli, ale dají se interpretovat i jako konečné množiny s operací sčítání modulo $n$. Navíc rotace v trojrozměrném prostoru se dají napsat pomocí matic $3\times 3$. Pokud vezmeme množinu matic příslušejících rotacím okolo libovolné trojčetné osy, je tato množina grupou s operací násobení matic a opět se chová stejně. Stejně se chová i skupina určitých permutací tří písmen.

Grupa $\mathrm{C_3}$ se tedy dá popsat i jako grupa $\mathbb {G}(\{ 0,1,2\} ,+\mod 3)$, grupa určitých permutací nebo určitých matic... Podobným příkladem je grupa rotací kolem čtyřčetné osy a grupa násobků komplexní jednotky.1 Podle množinového formalismu jsou tyto grupy isomorfní, tedy existuje mezi nimi zobrazení (isomorfismus), které jednoznačně přiřadí každému prvku první grupy právě jeden prvek druhé grupy, přičemž vztahy vůči ostatním prvkům zůstanou zachovány. Rozdíl mezi isomorfními grupami je tedy jen formální, a proto všechny tyto grupy shodně značíme jedním symbolem, v tomto případě $\mathrm{C_4}$. V praxi může být užitečné uvědomit si, že některé dvě struktury se chovají podle téže grupy, protože pak můžeme určité znalosti o jedné struktuře aplikovat i na tu druhou.

Dalším pojmem, souvisejícím s isomorfismem, je reprezentace. Máme-li nějakou grupu objektů, např. nějakých permutací, pak grupy matematických objektů (např. matic), které jsou s naší grupou isomorfní, nazýváme reprezentacemi grupy.

Pojem grupy a jejího spojení s nějakou strukturou či více strukturami už máme zavedený a tím pro tentokrát skončíme. V příštím díle se můžeš těšit na povídání o reprezentacích.

Zuzi


1) Komplexní čísla jsou čísla ve tvaru $a+bi$, kde $a,b\in \mathbb {R}$ a $i$ je komplexní jednotka, tedy číslo, pro které platí, že $i^2=-1$. Říkáme, že komplexní číslo má reálnou ($a$) a imaginární ($ib$) část. Číslo, které má pouze reálnou část, je reálné a naopak číslo, které má jen imaginární část, je ryze imaginární. Pokud komplexní čísla zobrazíme v rovině, pak na ose $x$ budeme mít čísla reálná a na ose $y$ ryze imaginární. $i$ je pak jednotkový úsek na ose $y$. Protože $i^2=-1$, $i^3=-1\cdot i=-i$ a $i^4=(-1)^2=1$, tak mocniny $i$ v komplexní rovině rotují proti směru hodinových ručiček, vždy o pravý úhel.

2.5 Teorie grup I (5b)

  1. Uveď nějakou další množinu, která může vytvořit grupu s operací sčítání. (1b)

  2. Vymysli si nějakou grupu a ukaž, že je to grupa. (1 – 3b podle složitosti a originality grupy)

  3. Sestav grupu všech symetrií rovnostranného trojúhelníku v rovině a analyzuj ji. (3b)