Úloha 2.u4: Zalévání zahrádky (2 b)

Zadáno v čísle 24.2.

Řešeno v čísle 24.4.

Zadání

Nezaprší a nezaprší. Zahradník vzal hadici, postavil se doprostřed zahrady a začal zalévat. Trochu ho to již přestává bavit, a tak přemýšlí, čím by zaměstnal svůj bystrý mozek. A vtom mu na mysli vyvstane otázka – na jaké křivce leží body maximální výšky, kam dostříkne hadicí (při zanedbání odporu vzduchu), bude-li stát na místě, stříkat jedním směrem a bude pouze měnit úhel náklonu hadice ve vertikální rovině? Přijdete na to dřív než on? Zkuste křivku popsat matematicky a graficky znázornit.

Řešení

Trajektorie vody odpovídá šikmému vrhu s počáteční rychlostí $v_0$ a sklonem $\alpha $ vůči vodorovné rovině. Je známo, že stojí-li zahradník v počátku, nejvyšší bod takové trajektorie leží na souřadnicích

\[ x=\frac{v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha }{g} \]\[ y=\frac{v_0^2 \sin ^2\alpha }{2g} \]

Z toho se lze dalšími úpravami zbavit proměnné $\alpha $ a získat obecný předpis pro křivku:

\[ x^2=\frac{v_0^4 \sin ^2\alpha \cos ^2\alpha }{g^2}=\frac{v_0^2 2y (1-\sin ^2\alpha )}{g}=\frac{2v_0^2}{g}y-4y^2= \]\[ =\frac{v_0^4}{4g^2}-\frac{v_0^4}{4g^2}+\frac{2v_0^2}{g}y-4y^2=\frac{v_0^4}{4g^2}-\left( 2y-\frac{v_0^2}{2g}\right)^2 \]

Celkově dostáváme rovnici elipsy, a to je křivka, po níž se bod maximální výšky pohybuje:

\[ x^2+4\left( y-\frac{v_0^2}{4g}\right)^2=\frac{v_0^4}{4g^2} \]

Evžen