Úloha 2.u2: Dvě kružnice a obdélník (3 b)

Zadáno v čísle 22.2.

Řešeno v čísle 22.4.

Zadání

Dvě kružnice $k$, $l$ se protínají v bodech $M$ a $N$. Nechť $ABCD$ je obdélník, přičemž vrcholy $A$ a $C$ leží na $k$, vrcholy $B$ a $D$ leží na $l$. Dokaž, že průsečík úhlopříček obdélníka $ABCD$ leží na úsečce $MN$.

Řešení

Připomeňme si nejprve, co je to mocnost bodu ke kružnici. Konkrétně uvažme nějaký bod $A$ uvnitř kružnice $k$ a libovolnou přímku procházející skrz $A$, která protne $k$ v nějakých bodech $P$, $Q$. Potom mocností $A$ ke kružnici $k$ budeme rozumnět součin $|AP|\cdot |AQ|$; toto číslo je nezávislé na volbě přímky.

Prozkoumejme nyní mocnosti bodů na úsečce $MN$ vůči kružnicím $k$ a $l$. Pro nějaký takový bod $X$ je jeho mocnost vůči oběma kružnicím $|XM|\cdot |XN|$. Zkusme naopak zvolit nějaký bod $Y$ ležící uvnitř kružnic $k$ i $l$, ale mimoúsečku $MN$. Polopřímka $MY$ protne $k$ a $l$ v různých bodech $P$ a $Q$, proto i mocnost bodu $Y$ ke kružnici $k$ bude rozdílná od té k $l$. Pro body uvnitř obou kružnic tedy platí, že ty na úsečce $MN$ jsou přesně ty se stejnou mocností k oběma kružnicím. Naše úvahy by bylo možné zobecnit, platí, že body se stejnou mocností k oběma kružnicím jsou právě ty na přímce $MN$; tato přímka se pak nazývá chordála.

Obrázek 1: Body na úsečce $MN$ jsou právě ty, které mají ke $k$ i $l$ stejnou mocnost a zároveň leží uvnitř obou kružnicích.

Nyní již k samotné úloze. Povšimněme si, že průsečík úhlopříček obdélníku $S$ jistě leží uvnitř obou kružnic $k$ a $l$ a platí pro něj tedy naše předchozí pozorování. Nyní již stačí spočítat, že mocnost $S$ ke kružnici $k$ je $|SA|\cdot |SC|$ a ke kružnici $l$ $|SB|\cdot |SD|$. Průsečík úhlopříček obě úhlopříčky půlí, takže mocnosti jsou stejné a $S$ leží na úsečce $MN$, což bylo dokázat.

Vašek

Obrázek 2: Bod $S$ má stejnou mocnost k oběma kružnicím.