Úloha 1.u3: Hádání Karet (3 b)

Zadáno v čísle 22.1.

Řešeno v čísle 22.3.

Zadání

Tomáš má balíček 52 karet (s třinácti různými symboly ve čtyřech barvách). Karty leží na stole lícem dolů a Tomáš vždy zvedne jednu kartu a odloží ji pryč, dokud nedojde balíček. Před odebráním karty ale ještě hádá, jakou má barvu. Dělá to chytře – vždy si tipne barvu, která se vyskytuje nejčastěji ve zbytku balíčku (pokud je jich víc, vybere si mezi nimi podle libosti). Dokažte, že se Tomáš trefí alespoň třináctkrát.

Řešení

Nejprve přeformulujeme zadání. Představme si, že jsou karty uspořádány podle barev ve čtyřech sloupcích po třinácti.
Tomáš si vždy náhodně vybere jeden ze sloupců a odebere z něj kartu. Trefí se přesně tehdy, pokud odebere kartu ze
sloupce, ve kterém je nejvíc karet.
 
Nyní postupujme odzadu. Na konci jsou všechny karty pryč, takže během braní karet musí dojít k momentu, kdy je
poprvé ve všech sloupcích méně než 1 karta. Podobně před tím došlo k momentům, kdy bylo poprvé v každém
sloupci méně než $2,3,\dots,12,13$ karet. Před každým tímto momentem ale Tomáš určitě odebral kartu z toho sloupce,
který obsahoval nejvíc karet. To znamená, že se trefil určitě aspoň třináctkrát.

Pepa