Úloha 1.u1: Špionážní družice (4 b)

Zadáno v čísle 22.1.

Řešeno v čísle 22.3.

Zadání

Jakou nejdelší dobu v kuse může družice na kruhové rovníkové dráze s výškou 500 km sledovat jedno konkrétní místo na zemském povrchu?

Řešení

Předpokládejme, že v jeden okamžik je družice schopna sledovat plochu kulového vrchlíku, určeného tečnami k zemskému povrchu. Jedná se samozřejmě pouze o přiblížení, při kterém neuvažujeme lom paprsků záření při průchodu zemskou atmosférou a rozměry družice zanedbáme. 

Družice se pohybuje po kruhové dráze, její úhlovou rychlost určíme ze vztahu ω=(GMz/(R+h)3)1/2, kde hmotnost Země Mz=5,972*1024 kg, výška oběhu družice h=500 km, poloměr Země R=6378 km a gravitační konstanta G=6,67*10-11 m3kg-1s-2. Bod nacházející se na rovníku může družice sledovat maximálně po dobu oběhu z místa A do B. Musíme ještě započítat Zemskou rotaci, je zjevné, že pro maximalizaci času, který je družice schopna bod sledovat, bude družice obíhat stejným směrem jako Země. Výsledný čas pak spočteme ze vztahu: t=φ/(ω-ωz)=2*arccos(φ/2)/((GMz/(R+h)3)1/2-(2*π/T)1/2), kde délka pozemského dne T=86400 s. Po číselném dosazení dostaneme t přibližně rovno 742 s tedy asi 12,4 minut. V zadání ale není specifikováno, kde na zemském povrchu se sledovaný bod nachází – nyní určíme čas t v závislosti na zeměpisné šířce. Pro přehlednost je vhodné si situaci dobře nakreslit.  

Vidíme, že: r'=R*cosθ, z=R*(1-cos(φ/2)), dále víme, že pro úhel α platí α=2*arccos(1-z'/r'):

α=2*arccos(1-(R*(cosθ-cos(φ/2))/R*cosθ))

α=2*arccos(cos(φ/2)/cosθ)

A odtud pro hledaný čas dostaneme:

t=2*arccos(cos(φ/2)/cosθ)*1/((GMz/(R+h)3)1/2-(2*π/T)1/2)

Nutno poznamenat, že fyzikální význam mají pouze řešení z oboru reálných čísel.