Úloha 3.u4: Rychlost deště (4 b)

Zadáno v čísle 22.3.

Řešeno v čísle 22.5.

Zadání

Změřte rychlost padání deště (případně sněhu). Padají všechny kapky (vločky) stejně rychle? Na základě změřené hodnoty odhadněte velikost kapek.

Řešení

Ako už vyplýva zo zadania ide o experimentálnu úlohu. Najlepšie na meranie bude, ak si zvolíme stálu dráhu $s$, na ktorej budeme merať čas, za ktorý sneh alebo kvapka prejde túto dráhu. Čas môžeme merať pomocou stopiek, ale je potrebne si uvedomiť, že človek má reakčnú dobu oko-ruka približne 0,25$\, \textrm{s}$, takže pri dvoch stlačeniach stopiek je výsledná absolútna odchýlka zmeraného času až 0,5$\, \textrm{s}$. Najlepšie riešenie je použiť kameru a nejaký program na úpravu videí kde si môžeme pozerať video po jednotlivých snímkoch. Ak bude kamera snímať rýchlosťou 30 snímkov za sekundu, dostaneme odchýlku iba 0,03$\, \textrm{s}$. Čím viac meraní prevedieme tým lepšie určíme priemerný čas $\bar{t}$ a priemernú odchýlku $\Delta \bar{t}$. Je treba takisto určit odchýlku meradla $\Delta t$.

Výslednú strednú relatívnu odchýlku času vypočítame pomocou vzťahu

\[ \sigma _{\bar{t}} = \sqrt {\left( {\Delta \bar{t}\over \bar{t}}\, \right)^2 + \left( {\Delta t\over \bar{t}} \right)^2}. \]

Priemernú rýchlosť už jednoducho vypočítame pomocou vzťahu

\[ \bar{v} = {s\over \bar{t}}, \]

stredná relatívna odchýlka rýchlosti bude daná vzťahom

\[ \sigma _{\bar{v}} = \sqrt {\left(\sigma _{\bar{t}}\right)^2 + \left({\Delta s\over s}\right)^2}, \]

kde $\Delta s$ je absolútna odchýlka dráhy.

Sníh

Odporová sila sa musí pri stálej rýchlosti pádu rovnať tiažovej sile:

\begin{align*} F _\mathrm {o} & = F _\mathrm {g}\\ {1\over 2}C\rho _\mathrm {p}S\bar{v}^2 & = mg,\\ \end{align*}

kde $C$ je súčiniteľ odporu, pre jednoduchosť použijeme hodnotu tohoto súčiniteľa okrúhlu dosku, teda asi 1,2; $\rho _\mathrm {p}$ hustota vzduchu, $S$ veľkosť našej vločky, $m$ hmotnosť vločky. Pre naše hľadané $S$:

\[ S={2mg\over C\rho _\mathrm {p}\bar{v}^2}. \]

Hodnotu $m$ je potrebné vyhľadať v literatúre, alebo odmerať, ale tak presne váhy asi bežne doma nikto nemá. Vypočítanú plochu vločky $S$ môžeme porovnať s hodnotou získanou iným spôsobom, napríklad z mikroskopickej fotografie vločky.

Dažď

Pre dažďové kvapky platí to isté, čo pre snehové vločky, akurát súčiniteľ odporu $C$ je pre kvapku podstatne menší ($\approx 0{,}1$), $S$ je obsah prierezu, teda kružnice, a $m$ si môžeme určiť ako $V\cdot \rho $, kde objem $V$ je objem jednej kvapky, ktorú pre jednoduchosť budeme pokladať za guľu, a $\rho $ je hustota vody.

\begin{align*} {1\over 2}C\rho _\mathrm {p}S\bar{v}^2 & = mg\\ {1\over 2}C\rho _\mathrm {p}\pi r^2\bar{v}^2 & = {4\over 3}\pi r^3 \rho g\\ r & = {3C\rho _\mathrm {p}\bar{v}^2\over 8\rho g} \end{align*}

Relatívna ochýlka polomeru $\sigma _ r$ bude dvojnásobkom relatívnej odchýlky rýchlosti $\sigma _ v$, ale len za predpokladu, že berieme ostatné veličiny ($C$, $\varrho _{\rm p}$, $\varrho $, $g$) ako pevne určené.

Na záver je dobré pripomenúť, aké zjednodušenia sme použili: snehovú vločku pokladáme za okrúhlu dosku, kvapku dažďa zas za guľu, v našom usporiadaní sa vzduch nepohybuje, teda nefúka vietor a bez výhrad používame Newtonov vzťah pre odpor prostredia, ktorý však platí iba približne.

Kubo