Úloha 2.u3: Papiňák (3 b)

Zadáno v čísle 22.2.

Řešeno v čísle 22.4.

Zadání

Potřebujete si rychle uvařit jídlo. Nemáte tlakový hrnec, pouze jednoduchý s pokličkou. Jaké maximální teploty v něm můžete dosáhnout, když mezi hrnec a pokličku dáte těsnění a na pokličku si sednete? Jak těžká (nebo zatížená) by musela být poklička, abyste v hrnci dosáhli stejné teploty jako v papiňáku? Sami odhadněte potřebné číselné parametry.

Řešení

Představme si situaci, kdy sedíme na pokličce, ve které není žádná díra a mezi ní a hrncem je těsnění. Existuje maximální síla, kterou může působit plyn v hrnci, aby poklička neuletěla nahoru. Zvrchu působí na pokličku tíhová síla $m g$ a tlaková síla atmosféry $p_0 S$, kde $p_0$ je standardní atmosferický tlak a $S$ je plocha pokličky. Zespodu na ni působí ona maximální síla, která je rovna tlakové síle plynu $S\cdot p_{\rm max}$. Z toho můžeme vypočítat maximální tlak v hrnci

\[ p_{\rm max} = \frac{m g}{S} + p_0. \]

Deformaci pokličky a hrnce zanedbáváme. Budeme počítat se standardním tlakem $p_0=100\, {\rm kPa}$ a pokličkou o průměru $d=17{,}5\, {\rm cm}$. Typická hmotnost člověka s pokličkou je přibližně $m=70\, {\rm kg}$. Maximální tlak je tedy

\[ p_{\rm max} = 129\, {\rm kPa}. \]

Když obsah hrnce zahříváme, dojde po určité době ke vzniku syté páry. Tlak této syté páry závisí pouze na teplotě – má jeden stupeň volnosti, funkce $p(t)$ nezávisí na objemu.1 Pokud tuto funkci známe, můžeme z ní vyjádřit maximální teplotu $t$. Naneštěstí neexistuje její analytické vyjádření a hodnotu musíme zjistit např. z tabulek. Hodnota teploty varu vody odpovídající maximálnímu tlaku $p_{\rm max}$ je přibližně

\[ t = 107{,}2\, ^\circ {\rm C}. \]

Vidíme, že tato teplota je jen o málo větší než teplota varu vody za standardních podmínek (přibližně $100\, ^\circ {\rm C}$). Abychom dosáhli teplot běžných v tlakových hrncích $120\, ^\circ {\rm C}$$130\, ^\circ {\rm C}$, musíme vyvinout tlak přibližně $p_{\rm max}=200\, {\rm kPa}$$270\, {\rm kPa}$. Hmotnost pokličky vypočítáme z rovnice pro maximální tlak:

\[ m = \frac{(p_{\rm max}-p_0)S}{g}. \]

Pro dané tlaky to jsou hmotnosti $246\, {\rm kg}$$416\, {\rm kg}$. Pokud však použijeme menší hrnec, např. s průměrem $d=14\, {\rm cm}$, budou potřebné hmotnosti v rozmezí $157\, {\rm kg}$$267\, {\rm kg}$. Na to už budou stačit dva až tři vzrostlejší lidé.

Poznámka k došlým řešením:
Někteří z řešitelů považovali plyn v hrnci za ideální a počítali se stavovou rovnicí

\[ \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}. \]

Tento předpoklad je však chybný, protože o ideálním plynu můžeme hovořit až při vyšších teplotách kvůli silnému silovému působení mezi molekulami vody, navíc se při vypařování a kondenzaci mění molární množství, které by v rovnici mělo také figurovat

Viktor


1) Teplota $t$ odpovídá bodu varu – po jejím překročení se veškerá kapalina přemění na plyn.