Úloha 4.u2: Kačenka (3 b)

Zadáno v čísle 24.4.

Řešeno v čísle 24.6.

Zadání

V rybníčku kruhového tvaru plave kačenka. Ráda by odlétla pryč, ale umí vzlétnout jen ze břehu. Tam na ni ale číhá kočka, která se bojí vody, ale po okraji rybníka se pohybuje čtyřikrát větší rychlostí, než kačenka plave. Existuje způsob, jak může kačenka kočce upláchnout, ať se kočka pohybuje jakkoli chytře?

Řešení

Pokud kačenka vidí kočku přes střed rybníčku a vyrazí nejkratší cestou ke břehu (tj. směrem od kočky), musí kočka uběhnout vzdálenost $\pi r$, kde $r$ je poloměr rybníčku, aby se dostala na místo, kam kačenka míří. Jelikož je kačenka čtyřikrát pomalejší, stačilo by jí, aby byla ke břehu blíže než $\pi r / 4$.

Dokáže se kačenka do takové pozice vždy dostat? Když poplave po kružnici s poloměrem $r / 4$ soustředné s rybníčkem, bude její úhlová rychlost stejná jako úhlová rychlost kočky. Pokud poplave po kružnici s menším poloměrem, bude její úhlová rychlost větší, a jednou se tedy dostane do pozice, kdy uvidí kočku přes střed. Když zároveň poloměr její kružnice nebude příliš malý, tedy bude větší než $r - \pi r / 4$, může v tu chvíli vyrazit nejkratší cestou ke břehu a zachránit se. Protože $r - \pi r /4 = r(1 - \pi / 4) < r / 4$, takový poloměr existuje a kačenka může kočce upláchnout.

Matěj